Ministère de l'Éducation Le curriculum de l'Ontario, 11e et 12e année Mathématiques (Révisé) 2007 Dans la présente publication, les ressources et les outils technologiques sont désignés en termes génériques le plus souvent possible. Cependant, par souci de clarté, l'appellation commerciale d'un produit est précisée lorsqu'elle est très connue parmi le personnel enseignant; ce qui n'implique nullement que le ministère de l'Éducation recommande ce produit. INTRODUCTION Le présent document Le curriculum de l'Ontario – Mathématiques, 11e et 12e année, Révisé, 2007 est destiné aux écoles de langue française; il remplace les documents Le curriculum de l'Ontario – Mathématiques, 11e et 12e année, 2000 et Le curriculum de l'Ontario – Mathématiques 11e année, Révisé, 2006. À compter de septembre 2007, le programme de mathématiques de 11e et 12e année est fondé sur les attentes et les contenus d'apprentissage énoncés dans les pages suivantes. LES ÉCOLES SECONDAIRES AU XXIe SIÈCLE Les écoles secondaires de l'Ontario offrent à tous les élèves un programme d'études varié et planifié de grande qualité. Ce programme vise la réussite de tous les élèves dans la destination de leur choix. La mise à jour du curriculum de l'Ontario, de pair avec un élargissement des options d'apprentissage offertes à l'extérieur de la salle de classe, intègre l'apprentissage des compétences essentielles pour réussir au XXIe siècle et respecte les champs d'intérêt, les points forts ainsi que les besoins des élèves. L'ÉCOLE DE LANGUE FRANÇAISE À l'école secondaire de langue française, un apprentissage de qualité se déroule dans un environnement propice à la construction de l'identité francophone. En effet, s'éveiller et s'ouvrir à la francophonie, prendre conscience de ses enjeux, identifier ses caractéristiques, s'y engager avec fierté et contribuer à la vitalité de ses institutions, tout cela correspond sans aucun doute à la plus-value de l'apprentissage proposé. À l'appui du mandat de l'école de langue française, la Politique d'aménagement linguistique de l'Ontario pour l'éducation en langue française, 2004 définit la nature et la portée des interventions en aménagement linguistique ainsi que les résultats escomptés. Ces résultats sont de trois ordres. • Pour les élèves : capacité accrue à acquérir les compétences en communication orale afin de maximiser l'apprentissage et la construction identitaire. • Pour le personnel scolaire : capacité accrue à oeuvrer en milieu minoritaire afin d'appuyer les apprentissages scolaires et le développement identitaire de chaque élève. • Pour les conseils scolaires : capacité accrue à maintenir et à augmenter l'effectif scolaire afin de contribuer à la vitalité des écoles de langue française et de la communauté francophone. Dans cet esprit, le personnel scolaire doit tenir compte des attentes génériques suivantes communes à tous les programmes-cadres : • L'élève utilise la langue française et des référents culturels de la francophonie pour exprimer sa compréhension, interpréter l'information qui lui est communiquée et s'en servir dans différents contextes. • L'élève utilise sa capacité à communiquer oralement en français pour explorer ses propres idées, les cerner, les organiser et les communiquer aux autres. Lors de la planification des activités d'enseignement et d'apprentissage, le personnel enseignant de l'école conçoit des interventions en aménagement linguistique qui réunissent les conditions favorables à la création d'un espace francophone respectueux du dynamisme et du pluralisme de la communauté et qui contrent les effets négatifs du contexte anglo-dominant sur la réussite des élèves. De cette manière, l'école devient un milieu de bilinguisme additif qui permet d'acquérir de solides compétences langagières en français à l'oral et à l'écrit. Elle invite les élèves à prendre conscience des avantages de maîtriser les deux langues officielles du Canada. Les élèves utilisent leur capacité à communiquer oralement en français pour apprendre à se connaître, à construire leur identité, à apprendre avec les autres et à faire état de leurs apprentissages. La politique d'aménagement linguistique de l'Ontario (PAL) comporte, entre autres, deux axes d'intervention qui ciblent la réussite scolaire et le développement de la personne. L'axe de l'apprentissage Cet axe d'intervention porte sur l'appropriation des savoirs et le choix de carrière. Le curriculum de l'Ontario définit les compétences transdisciplinaires que tous les élèves doivent acquérir pour évoluer comme francophones dans la vie et dans la société, c'est-à-dire savoir communiquer oralement, savoir lire, savoir écrire, savoir rechercher l'information, savoir se servir des technologies de l'interaction et savoir exercer une pensée critique. Garante de la réussite scolaire, l'acquisition de ces compétences de base se fait graduellement et en parallèle avec la découverte des champs d'intérêt et des talents individuels qui amènera chaque élève à définir son rôle dans la société et à choisir son domaine d'activité professionnelle. L'axe de la construction identitaire Cet axe d'intervention porte sur l'appropriation de la culture et le développement de l'identité. En approfondissant sa connaissance du français, l'élève acquiert un ensemble de repères culturels qui lui permettent d'interpréter le monde et de découvrir les traits distinctifs et les manifestations de la francophonie, sur le plan matériel et intellectuel. Chez l'élève, ce cheminement culturel vient encadrer sa démarche de construction identitaire qui s'opère en trois étapes interreliées : l'ouverture et le constat où l'élève s'éveille au milieu environnant et à la réalité culturelle francophone, l'expérience où l'élève prend contact de façon approfondie et plus active avec les contextes socioculturels et l'affirmation où l'élève fait des choix déterminants pour s'engager et affirmer son identité. Puisqu'une langue sert de véhicule à la culture, l'école doit aussi s'assurer de créer des situations d'apprentissage qui permettront aux élèves d'affirmer leur identité comme francophones. Les attentes du curriculum de l'Ontario visent le cheminement de l'élève sur les plans personnel, interpersonnel et professionnel. En incitant les élèves à discuter des apprentissages et à les mettre en relation avec leurs émotions, leurs valeurs et leurs connaissances antérieures, on développe simultanément chez l'élève l'expression de la pensée et le courage d'exposer un point de vue et de le confronter à d'autres avec mesure et tolérance. Ainsi, les attentes constituent un tremplin à partir duquel l'élève peut construire son identité tout en perfectionnant ses compétences linguistiques. En instaurant dans la salle de classe une ambiance collégiale et respectueuse des divers niveaux d'habiletés linguistiques et des différences culturelles, on contribue à rehausser l'estime de soi et à construire une identité forte et engagée chez les élèves. Finalement, les expériences vécues dans le milieu communautaire et les expériences de travail prévues dans les cours du présent document offrent d'excellentes occasions pour que l'élève s'engage dans des activités sociales, communautaires ou culturelles et consolide ses liens avec la communauté. LA PLACE DU PROGRAMME-CADRE DE MATHÉMATIQUES DANS LE CURRICULUM Au cours des dernières décennies, notre société a connu des transformations aussi rapides que profondes, notamment sous l'impulsion de progrès scientifiques et technologiques sans précédent. Dans ce contexte, on comprendra toute l'importance que revêt l'apprentissage des mathématiques à l'école secondaire pour mener les activités quotidiennes liées au marché du travail, à la famille et aux loisirs. « Le programme-cadre de mathématiques de l'Ontario doit servir diverses fins. Il doit en premier lieu susciter l'intérêt de tous les élèves pour les mathématiques et leur donner les outils nécessaires pour réussir dans une société où les mathématiques sont de plus en plus omniprésentes. C'est en effet en soutenant l'intérêt des élèves qu'on les amènera à persévérer dans l'étude des mathématiques et qu'on leur donnera ainsi accès à de nombreux itinéraires de formation et de carrière. Le programme doit en outre permettre l'acquisition de solides compétences en mathématiques pour que les élèves puissent en grand nombre poursuivre des études postsecondaires dans des domaines d'activité professionnelle qui font appel aux mathématiques comme le génie, les sciences et les affaires, et qui sont essentiels à la croissance de l'économie de l'Ontario. Enfin le programme doit aussi fournir aux élèves qui le désirent et qui en sont capables la possibilité de faire des études poussées en mathématiques1. » Le développement des connaissances et des compétences en mathématiques se fait progressivement. Une réalisation cohérente et continue des attentes du programme-cadre permet à l'élève de reconnaître les grandes idées des domaines d'étude et d'acquérir plus facilement une vision d'ensemble de son apprentissage et des principes fondamentaux qui sous-tendent l'univers des mathématiques. Les éléments importants d'habileté, de concept, de processus et d'attitude sont introduits au cycle primaire et nourris tout au long du niveau élémentaire. Une transition sans heurt entre les mathématiques à l'élémentaire et au secondaire permet à l'élève de développer sa confiance et sa compétence en mathématiques. 1. Rapport du Groupe de travail de la Ministre sur les mathématiques au cycle supérieur du secondaire, présenté le 9 mai 2006, p. 17–18. Le programme-cadre de mathématiques de 11e et de 12e année a pour objectif de permettre à l'élève : • d'acquérir les connaissances et les compétences essentielles en mathématiques; • de développer sa capacité de raisonner, de résoudre des problèmes et d'utiliser convenablement les différentes facettes de la communication; • d'éveiller sa volonté à poursuivre de façon autonome son apprentissage en fonction des défis rencontrés dans la vie courante. « Le programme-cadre reconnaît aussi l'importance du processus de raisonnement sousjacent aux mathématiques. En étudiant les mathématiques, les élèves apprennent à raisonner de façon logique, à avoir une pensée critique et à résoudre des problèmes, qui sont en somme autant de compétences clés pour réussir sur le marché du travail d'aujourd'hui2. » Dans le programme-cadre, on mise aussi sur la résolution de problèmes s'inspirant des réalités du quotidien puisqu'il s'agit d'une approche incomparable pour valoriser et faciliter l'apprentissage des mathématiques. Les mathématiques sont en interaction avec toutes les autres disciplines. Que ce soit en sciences et technologie, en sciences humaines et sociales ou en sciences économiques, les mathématiques fournissent des concepts qui font avancer la connaissance et la compréhension du monde, et réciproquement, les mathématiques se nourrissent des autres sciences. Il est important d'examiner de près ces liens, de les analyser et d'en discuter pour permettre à l'élève de bien saisir le rôle déterminant que jouent les connaissances et le raisonnement propres aux mathématiques dans les différentes disciplines. 2. Idem p. 17. LE RÔLE DE L'ÉLÈVE Face à la diversité des possibilités d'apprentissage que l'école lui propose, l'élève a la responsabilité de s'engager résolument et de faire les efforts nécessaires pour réussir. C'est en prenant conscience de ses progrès et du développement de ses habiletés que l'élève sera amené à croire en sa réussite et trouvera la motivation pour assumer cette responsabilité et persévérer dans ses apprentissages. Tous les élèves doivent pouvoir compter sur l'appui et la sollicitude du personnel enseignant et, dans certains cas, sur un soutien supplémentaire. La maîtrise des connaissances et des habiletés propres au programme de mathématiques requiert de la part de l'élève un engagement sincère. L'élève devrait saisir toutes les occasions possibles en dehors de la classe pour mieux maîtriser les processus de communication. Ses connaissances et ses habiletés croîtront au fur et à mesure qu'il explore son environnement et s'engage dans des activités qui impliquent la communication orale et l'utilisation et la compréhension du vocabulaire mathématique. Les activités d'apprentissage qui lui sont proposées permettent à l'élève de s'engager activement dans sa construction identitaire, dont l'épanouissement culturel constitue une dimension importante. Il importe donc d'amener l'élève à réaliser que la culture comporte de nombreux aspects qui concourent tous à la richesse de son identité et qu'à cet égard il lui appartient d'assumer une part de responsabilité. LE RÔLE DES PARENTS Le rôle des parents3 dans l'éducation de leur enfant s'articule principalement autour des axes suivants : connaître le curriculum, accompagner leur enfant dans son apprentissage, faire du foyer un milieu d'apprentissage et un lieu d'épanouissement culturel. Connaître le curriculum L'élève a tendance à fournir un meilleur rendement scolaire lorsque ses parents s'intéressent à ses études. S'ils se familiarisent avec les programmes-cadres du curriculum, les parents sauront quelles sont les connaissances, les habiletés et les compétences que leur enfant doit acquérir dans chaque cours. Ils pourront ainsi mieux suivre les progrès scolaires de leur enfant et en discuter en connaissance de cause. Cela leur permettra aussi de collaborer plus étroitement avec l'enseignante ou l'enseignant en vue d'améliorer le rendement scolaire de leur enfant. Accompagner leur enfant dans son apprentissage Les parents peuvent manifester leur intérêt pour l'apprentissage de leur enfant de bien des façons; par exemple, en l'encourageant à faire ses travaux, en assistant aux réunions de parents ou en s'assurant qu'il peut faire ses travaux dans un endroit adéquat et dispose de ressources appropriées en langue française. Comme l'apprentissage de leur enfant se fait en français, il est important que les parents valorisent l'acquisition de bonnes compétences langagières en faisant du foyer un milieu stimulant pour l'apprentissage des mathématiques. Ils peuvent aussi l'encourager à assumer ses responsabilités en matière de citoyenneté et à se tailler une place dans la communauté francophone de l'Ontario. Faire du foyer un milieu d'apprentissage Les parents peuvent encourager leur enfant à participer à des activités qui élargiront ses horizons, enrichiront sa compréhension du monde et développeront son esprit critique, qu'il s'agisse de discuter de questions d'actualité économique traitées dans un bulletin de nouvelles télévisées, de lui faire prendre conscience du rôle des mathématiques dans sa vie ou de lui donner le goût des mathématiques. Il importe aussi que les parents présentent les mathématiques sous un jour favorable, notamment en véhiculant l'idée que les mathématiques sont à la portée de tous. Faire du foyer un lieu d'épanouissement culturel L'appui des parents est essentiel pour favoriser chez leur enfant le développement de l'identité francophone. Le fait de parler français à la maison, de prévoir des activités culturelles et récréatives en français, d'offrir des ressources en français à l'enfant renforcera le travail éducatif accompli à l'école de langue française. Cela aidera l'enfant à mieux réussir à l'école et à s'identifier plus étroitement à la culture d'expression française, dans toute la diversité de ses manifestations. 3. Dans le présent document, le terme parents désigne aussi les tutrices et les tuteurs. LE RÔLE DE L'ENSEIGNANTE OU L'ENSEIGNANT Le rôle de l'enseignante ou l'enseignant, qui consiste à appuyer chaque élève dans sa réussite, s'articule autour de trois axes : créer un milieu d'apprentissage convivial pour l'élève, lui proposer des activités pertinentes et faire de l'aménagement linguistique en français une priorité. Créer un milieu d'apprentissage convivial pour l'élève L'enseignante ou l'enseignant a pour tâche d'élaborer une gamme de stratégies d'enseignement et d'évaluation fondées sur une pédagogie éprouvée. Il lui faut concevoir des stratégies qui tiennent compte des différents styles d'apprentissage et les adapter pour répondre aux divers besoins des élèves. Ces stratégies devraient aussi viser à insuffler à chaque élève le désir d'apprendre et de maintenir sa motivation à donner son plein rendement. Proposer des activités pertinentes pour l'élève L'enseignante ou l'enseignant fait des liens entre la théorie et la pratique et conçoit des activités fondées sur un apprentissage actif. Miser sur le connu et le concret amène l'élève à découvrir et à intégrer les concepts à l'étude par l'entremise du questionnement, de la recherche, de l'observation et de la réflexion. L'enseignante ou l'enseignant l'encouragera à situer ces concepts dans un contexte qui lui permettra d'en voir clairement la pertinence et l'application dans le monde qui l'entoure. Faire de l'aménagement linguistique en français une priorité La qualité de la langue utilisée est garante de la qualité des apprentissages. Il importe donc qu'en salle de classe, on attache la plus grande importance à la qualité de la communication orale et écrite, quelle que soit l'activité d'apprentissage. Il ne s'agit pas de tout corriger, mais plutôt d'encadrer l'élève dans le processus de production orale et écrite afin de lui permettre de transmettre clairement ses idées. Il faut offrir à l'élève un milieu linguistique, où tout contribue à enrichir ses compétences en français. Il est donc essentiel que l'élève dispose de diverses ressources d'apprentissage en français. LE RÔLE DE LA DIRECTRICE OU DU DIRECTEUR D'ÉCOLE De concert avec divers intervenants, la directrice ou le directeur d'école prendra les mesures nécessaires pour fournir la meilleure expérience scolaire possible à tous les élèves et leur donner les moyens de connaître le succès et d'assumer leurs responsabilités sur le plan personnel, civique et professionnel. Il lui incombe aussi de veiller à la mise en oeuvre du curriculum de l'Ontario dans sa totalité et dans le respect des différents styles d'apprentissage des élèves et, pour ce faire, de s'assurer que les élèves et le personnel enseignant disposent des ressources nécessaires, y compris en matière de perfectionnement professionnel pour favoriser l'excellence de l'enseignement. La directrice ou le directeur d'école doit valoriser et favoriser l'apprentissage sous toutes ses formes, à l'école comme dans le milieu communautaire. Il lui appartient en outre de concevoir des mesures pour appuyer l'épanouissement d'une culture d'expression française, en conformité avec la politique d'aménagement linguistique du conseil scolaire. À cet égard, la directrice ou le directeur d'école travaille en collaboration avec divers intervenants pour créer une communauté apprenante qui constituera un milieu communautaire où il fait bon vivre et apprendre en français. La directrice ou le directeur d'école a la responsabilité de s'assurer que l'élève qui a un plan d'enseignement individualisé (PEI) obtienne les adaptations et les changements décrits dans son PEI. Il lui incombe aussi de voir à l'élaboration, à la mise en oeuvre et au suivi du PEI. ORGANISATION DU PROGRAMME-CADRE DE MATHÉMATIQUES L'APERÇU DU PROGRAMME Les cours du secondaire sont fondés sur des principes en harmonie avec ceux qui soustendent le programme de 9e et de 10e année, ce qui facilite la transition au cycle supérieur. Ces cours reflètent la notion selon laquelle les élèves apprennent efficacement les mathématiques lorsqu'on leur donne d'abord l'occasion d'examiner des idées et des concepts et de les relier à des connaissances déjà acquises puis lorsqu'on les amène à comprendre les mathématiques abstraites qui entrent en jeu. Ces cours visent à fournir aux élèves la préparation nécessaire pour des études postsecondaires ou pour le marché du travail en construisant une solide conception des fondements en mathématiques leur permettant ainsi d'appliquer leurs connaissances et leurs habiletés de façons différentes à la résolution de problèmes et de poursuivre avec succès leur apprentissage. De nos jours, de nombreux outils technologiques viennent appuyer l'enseignement des mathématiques en salle de classe. Dans un programme de mathématiques efficace, l'élève apprend en présence d'outils technologiques. « La recherche démontre que l'utilisation de la calculatrice, de la calculatrice à capacité graphique et d'autres ressources technologiques a un effet significatif sur le rendement des élèves quant aux concepts et aux habiletés arithmétiques ainsi que sur le plan de résolution de problèmes et des habiletés intellectuelles de niveaux supérieurs4. » Le curriculum intègre des technologies appropriées à l'apprentissage et à la pratique des mathématiques en tenant compte du fait qu'il reste important que les élèves maîtrisent les habiletés numériques et algébriques essentielles. L'acquisition des habiletés constitue une partie importante du programme; les habiletés s'inscrivent dans les contextes offerts par les divers domaines du programme de mathématiques et doivent être présentées lorsque le besoin s'en fait sentir. 4. Groupe d'experts pour la réussite des élèves, La numératie en tête de la 7e à la 12e année – Rapport du Groupe d'experts pour la réussite des élèves. Toronto, Ministère de l'Éducation de l'Ontario, 2004, p. 55 (désigné ci-après par La numératie en tête). LES COURS EN 11e ET 12e ANNÉE En 11e et 12e année, quatre types de cours sont offerts : cours préuniversitaire, cours préuniversitaire/précollégial, cours précollégial et cours préemploi. L'élève choisit le type de cours selon ses intérêts, son rendement et ses objectifs postsecondaires. Les quatre types de cours sont définis de la façon suivante : • Le cours préuniversitaire est conçu pour permettre à l'élève d'acquérir les connaissances et les habiletés qu'il lui faut pour satisfaire aux critères d'admission des programmes d'études universitaires. • Le cours préuniversitaire/précollégial est conçu pour permettre à l'élève d'acquérir les connaissances et les habiletés qu'il lui faut pour satisfaire aux critères d'admission des programmes d'études particuliers offerts dans les universités et les collèges. • Le cours précollégial est conçu pour permettre à l'élève d'acquérir les connaissances et les habiletés qu'il lui faut pour satisfaire aux critères d'admission de la plupart des programmes d'études collégiales ou à ceux de certains programmes d'apprentissage ou d'autres programmes de formation professionnelle. • Le cours préemploi est conçu pour permettre à l'élève d'acquérir les connaissances et les habiletés qu'il lui faut pour répondre aux attentes des employeurs, si son intention est de joindre le marché du travail immédiatement après l'obtention de son diplôme, ou pour satisfaire aux critères d'admission de nombreux programmes d'apprentissage ou d'autres programmes de formation professionnelle. Les conseils scolaires peuvent élaborer et offrir à l'échelon local un cours en 9e année et en 10e année en mathématiques qui comptera comme un crédit obligatoire en mathématiques (voir la note Politique/Programme nº 134 qui modifie la section 7.1.2, « Cours élaborés à l'échelon local », du document Les écoles secondaires de l'Ontario de la 9e à la 12e année - Préparation au diplôme d'études secondaires de l'Ontario, 1999 [ESO]). Qu'il compte ou non comme un crédit obligatoire, ce cours peut être élaboré pour préparer l'élève à réussir les cours préemploi de 11e et 12e année en mathématiques. L'approbation ministérielle du cours élaboré à l'échelon local autorise le conseil scolaire à l'utiliser comme préalable donnant droit à un crédit au cours de la filière préemploi. Pour en savoir davantage sur les types de cours, consulter le document complémentaire Les écoles secondaires de l'Ontario de la 9e à la 12e année : préparation au diplôme d'études secondaires de l'Ontario, 1999. Cours de mathématiques, 11e et 12e année Année : 11e Cours : Fonctions Type : préuniversitaire Code : MCR3U Cours préalable : Principes de mathématiques, 10e année, cours théorique Année : 11e Cours : Modèles de fonctions Type : préuniversitaire/précollégial Code : MCF3M Cours préalable : Principes de mathématiques, 10e année, cours théorique ou Méthodes de mathématiques, 10e année, cours appliqué Année : 11e Cours : Méthodes de mathématiques Type : précollégial Code : MBF3C Cours préalable : Méthodes de mathématiques 10e année, cours appliqué Année : 11e Cours : Mathématiques de la vie courante Type : préemploi Code : MEL3E Cours préalable : Cours appliqué ou théorique, 9e année, ou cours élaboré à l'échelon local donnant droit à un crédit obligatoire de mathématiques en 10e année Année : 12e Cours : Calcul différentiel et vecteurs Type : préuniversitaire Code : MCV4U Cours préalable : Les élèves pourront suivre concurremment les cours Fonctions avancées (MHF4U) et Calcul différentiel et vecteurs (MCV4U) ou suivre d'abord Fonctions avancées. Année : 12e Cours : Mathématiques de la gestion des données Type : préuniversitaire Code : MDM4U Cours préalable : Fonctions, 11e année, cours préuniversitaire ou Modèles de fonctions, 11e année, cours préuniversitaire/précollégial Année : 12e Cours : Fonctions avancées Type : préuniversitaire Code : MHF4U Cours préalable : Fonctions, 11e année, cours préuniversitaire ou Mathématiques de la technologie au collège, 12e année, cours précollégial (MCT4C) Année : 12e Cours : Méthodes de mathématiques Type : précollégial Code : MAP4C Cours préalable : Méthodes de mathématiques, 11e année, cours précollégial ou Modèles de fonctions, 11e année, cours préuniversitaire/précollégial Année : 12e Cours : Mathématiques de la technologie au collège Type : précollégial Code : MCT4C Cours préalable : Modèles de fonctions, 11e année, cours préuniversitaire/précollégial ou Fonctions, 11e année, cours préuniversitaire Année : 12e Cours : Mathématiques de la vie courante Type : préemploi Code : MEL4E Cours préalable : Mathématiques de la vie courante, 11e année, cours préemploi N.B. : Chaque cours ci-dessus donne droit à un crédit Organigramme des préalables pour les cours de mathématiques de 11e et 12e année (organigramme de la page 12 omit) L'organigramme présente l'organisation des cours de mathématiques en fonction des préalables. Toutes les options de cheminement entre les cours ne sont cependant pas indiquées. Les cours donnant droit à des demi-crédits Les cours de mathématiques décrits dans le présent document ont été conçus comme des cours donnant droit à un crédit entier. Toutefois, à l'exception des cours préuniversitaires de 12e année, on pourra offrir les cours décrits ici sous forme de demi-cours valant chacun un demi-crédit. Les demi-cours exigent un minimum de cinquante-cinq (55) heures d'enseignement et doivent satisfaire aux conditions suivantes : • Les deux demi-cours élaborés à partir d'un cours donnant droit à un crédit entier doivent ensemble inclure toutes les attentes et les contenus d'apprentissage du cours d'où ils sont tirés. Les attentes et les contenus d'apprentissage doivent être répartis entre les deux demi-cours de la meilleure façon possible pour permettre à l'élève d'acquérir les connaissances et les habiletés dans le temps alloué. • Un cours préalable à un autre cours au palier secondaire peut aussi être offert sous forme de deux demi-cours. Cependant, l'élève doit réussir les deux demi-cours pour obtenir ce préalable. L'élève n'a pas à suivre les deux demi-cours si le cours original ne constitue pas un préalable à un cours qu'il a l'intention de suivre. • Le titre de chaque demi-cours doit préciser « Partie 1 » ou « Partie 2 ». La reconnaissance d'un demi-crédit (0,5) sera inscrite dans la colonne de la valeur en crédits du bulletin scolaire et du relevé de notes de l'Ontario. Les conseils scolaires s'assureront que tous les demi-cours respectent les conditions cidessus et signaleront tous les demi-cours au ministère de l'Éducation, dans les rapports des écoles, au mois d'octobre. LES DOMAINES D'ÉTUDES Chaque domaine d'étude des cours de mathématiques du cycle supérieur est brièvement décrit ci-dessous. Cours de la filière préuniversitaire 11e année : FONCTIONS (MCR3U) Modélisation à l'aide de fonctions algébriques Fonctions exponentielles Fonctions trigonométriques Fonctions discrètes 12e année : FONCTIONS AVANCÉES (MHF4U) Fonctions exponentielle et logarithmique Fonctions trigonométriques Fonctions polynôme etrationnelle Caractéristiques de fonctions 12e année : CALCUL DIFFÉRENTIEL ET VECTEURS (MCV4U) Taux de variation Applications de la dérivée Algèbre et géométrie des vecteurs 12e année : MATHÉMATIQUES DE LA GESTION DES DONNÉES (MDM4U) Dénombrement et probabilités Distribution des probabilités Gestion des données Analyse statistique Projet d'envergure en gestion de données Tableau représente les informations suivantes : 11e année : FONCTIONS (MCR3U) = 12e année : MATHÉMATIQUES DE LA GESTION DES DONNÉES (MDM4U) 11e année : FONCTIONS (MCR3U) = 12e année : FONCTIONS AVANCÉES (MHF4U) = 12e année : CALCUL DIFFÉRENTIEL ET VECTEURS (MCV4U) ORGANISATION DU PROGRAMME-CADRE DE MATHÉMATIQUES Le cours de 11e année de la filière préuniversitaire, Fonctions, fait appel aux compétences et aux concepts enseignés dans les cours théoriques de mathématiques de 9e et 10e année. Le cours est destiné à préparer les élèves aux cours de mathématiques de 12e année qui mènent à de nombreux programmes universitaires, y compris les sciences, l'ingénierie, les sciences sociales, les arts et l'éducation. Dans ce cours, le concept des fonctions est présenté dans le domaine Modélisation à l'aide de fonctions algébriques puis approfondi par l'étude de deux nouvelles formes de relations dans les domaines Fonctions exponentielles et Fonctions trigonométriques. Dans le domaine Fonctions discrètes, l'étude de diverses représentations de suites et de séries permet aux élèves de réexaminer les concepts de modélisation et d'algèbre abordés à l'école élémentaire, et d'établir des liens avec les applications financières, notamment le calcul de l'intérêt composé et de la valeur finale d'une annuité. Le cours de 12e année de la filière préuniversitaire, Fonctions avancées, satisfait aux critères d'admission en mathématiques d'un certain nombre de programmes universitaires. Les domaines du cours aident les élèves à approfondir leur compréhension des fonctions en élargissant leurs connaissances des fonctions du second degré pour explorer les fonctions polynômes et rationnelles, et en réexaminant les fonctions exponentielle et trigonométrique introduites en 11e année pour aborder des concepts connexes comme la mesure en radians et les fonctions logarithmiques. Dans le domaine Caractéristiques de fonctions, l'examen des taux de variation et des combinaisons de fonctions permet de présenter certaines caractéristiques générales des fonctions. Le cours de 12e année de la filière préuniversitaire, Calcul différentiel et vecteurs, est destiné aux élèves qui veulent suivre des programmes universitaires, notamment en sciences, en ingénierie et en économie, dont la première année comporte un cours de calcul différentiel ou d'algèbre linéaire. Le calcul différentiel est abordé dans le domaine Taux de variation en partant de la représentation numérique et graphique des taux de variation, présentée dans le cours Fonctions avancées, pour y inclure des représentations algébriques plus abstraites. Le domaine Applications de la dérivée permet aux élèves d'acquérir les compétences en algèbre et en résolution de problèmes qui sont nécessaires pour traiter les problèmes relatifs aux taux de variation. Dans le domaine Algèbre et géométrie des vecteurs, les connaissances déjà acquises en géométrie et en trigonométrie servent à explorer des concepts vectoriels pour résoudre des problèmes intéressants tirés de la vie courante. Le cours de 12e année de la filière préuniversitaire, Mathématiques de la gestion des données, satisfait aux critères d'admission de plusieurs programmes universitaires qui comportent des cours de statistiques, comme certains programmes de sciences et de sciences humaines. Pour répondre aux attentes du cours, l'élève doit mettre en application les connaissances des processus mathématiques, comme la résolution de problèmes, le raisonnement et la communication, qu'il doit avoir acquises au préalable. Les domaines Dénombrement des probabilités et Distribution des probabilités font appel aux concepts fondamentaux des probabilités étudiés à l'école élémentaire et introduit le concept de lois des probabilités, y compris la loi normale, cruciale pour l'étude des statistiques. Dans les domaines Gestion des données et Analyse statistique, l'élève explore, utilise et conçoit des méthodes permettant d'organiser un volume important de données; il étudie et approfondit sa compréhension des concepts puissants qui servent à analyser et à interpréter un volume important de données. Ces concepts sont étudiés à l'aide d'outils technologiques comme des tableurs et Fathom, un progiciel d'analyse statistique sous licence du Ministère. Dans le domaine Projet d'envergure en gestion des données, l'élève doit entreprendre un grand projet sur une question importante et appliquer les compétences acquises dans tous les domaines du cours. Cours des filières préuniversitaire/précollégiale et précollégiale 11e année : MODÈLES DE FONCTIONS (MCF3M) Fonctions du second degré Modèles de croissance exponentielle et applications financières Fonctions trigonométriques 12e année : MATHÉMATIQUES DE LA TECHNOLOGIE AU COLLÈGE (MCT4C) Fonctions exponentielles Fonctions polynômes Fonctions trigonométriques Applications de la géométrie Tableau représente : 11e année : MODÈLES DE FONCTIONS (MCF3M) = 12e année : MATHÉMATIQUES DE LA TECHNOLOGIE AU COLLÈGE (MCT4C) Le cours de 11e année de la filière préuniversitaire/précollégiale, Modèles de fonctions, prépare les élèves qui projettent de s'inscrire à des programmes collégiaux de technologie, tout en laissant à certains élèves la possibilité de poursuivre des études postsecondaires dont le critère d'admission est le cours de 12e année de la filière préuniversitaire, Mathématiques de la gestion des données. Pour explorer les fonctions, le cours revient sur les concepts fondamentaux étudiés dans le programme de mathématiques de la 10e année et utilise une approche plus pratique qui insiste moins sur les concepts abstraits étudiés dans le cours de 11e année de la filière préuniversitaire, Fonctions. Le premier domaine, Fonctions du second degré, permet aux élèves qui ont terminé le cours de mathématiques appliquées de 10e année d'élargir leurs connaissances et leurs habiletés en matière de fonctions du second degré, et aux élèves qui sont issus du cours théorique de 10e année de réexaminer le sujet. Ce domaine présente également certaines propriétés des fonctions. Les deux autres domaines, Modèles de croissance exponentielle et applications financières et Fonctions trigonométriques, mettent l'accent sur des applications concrètes et aident les élèves à développer les connaissances et les compétences requises pour résoudre des problèmes connexes. Le cours de 12e année de la filière précollégiale, Mathématiques de la technologie au collège, offre une excellente préparation à la réussite des programmes de technologie au niveau du collège. Le cours approfondit la compréhension des fonctions du cours de 11e année de la filière préuniversitaire/précollégiale, Modèles de fonctions, en s'appuyant sur une approche plus concrète; il peut aussi préparer les élèves au cours de 12e année de la filière préuniversitaire, Fonctions avancées, pour suivre certains programmes universitaires. Les fonctions exponentielle et trigonométrique sont réexaminées de manière à élargir les compétences liées aux représentations graphiques des fonctions trigonométriques et à acquérir les compétences en algèbre permettant de résoudre des problèmes comportant des équations exponentielles. Le domaine Fonctions polynômes étend les concepts qui relient les représentations graphiques et les équations des fonctions du second degré à l'exploration des fonctions polynômes. Enfin, les élèves appliquent des liens géométriques pour résoudre des problèmes axés sur des formes et des figures composées et explorer les propriétés des cercles et leurs applications. 11e année : MÉTHODES DE MATHÉMATIQUES (MBF3C) Modèles mathématiques Mathématiques financières Gestion des données Applications de mesure et de trigonométrie 12e année : MÉTHODES DE MATHÉMATIQUES (MAP4C) Modèles mathématiques Gestion des données Applications de géométrie et de trigonométrie Mathématiques financières Tableau représente : 11e année : MÉTHODES DE MATHÉMATIQUES (MBF3C) = 12e année : MÉTHODES DE MATHÉMATIQUES (MAP4C) Le cours de 11e année de la filière précollégiale, Méthodes de mathématiques, associe un ensemble de sujets qui préparent les élèves à un large éventail de programmes collégiaux. À cette fin, le cours comporte quatre domaines qui traitent de notions mathématiques différentes. Le domaine Modèles mathématiques approfondit les fonctions du second degré étudiées en 10e année dans les cours de mathématiques appliquées et présente les relations exponentielles. Le domaine Mathématiques financières s'intéresse au calcul de l'intérêt composé et aux applications relatives à des placements et à des emprunts, et à l'achat et l'entretien d'une voiture. Les applications qui exigent un raisonnement spatial sont abordées dans le domaine Applications de mesure et de trigonométrie. Le domaine Gestion des données explore les applications pratiques des probabilités et des statistiques à une variable. Le cours de 12e année de la filière précollégiale, Méthodes de mathématiques, satisfait aux critères d'admission de nombreux programmes collégiaux, y compris des programmes relatifs aux affaires, aux services à la personne, à l'accueil et au tourisme, et certains programmes des sciences de la santé. Les quatre domaines du cours sont axés sur les mêmes notions mathématiques que le cours de 11e année de la filière précollégiale, Méthodes de mathématiques. Le domaine Modèles mathématiques élargit les concepts et les habiletés en matière de relations exponentielles, présentées en 11e année, et permet aux élèves de réexaminer toutes les relations étudiées dans le programme de mathématiques du palier secondaire en utilisant une approche graphique et algébrique. Dans le domaine Mathématiques financières, l'élève étudie plus particulièrement les annuités et les prêts hypothécaires, la location ou l'achat d'un logement et l'élaboration d'un budget. Dans le domaine Applications de géométrie et de trigonométrie, la résolution des problèmes renforce l'aptitude de l'élève à appliquer les relations associées à diverses formes et figures. Le domaine Gestion des données traite des applications pratiques des statistiques à deux variables et examine les applications de la gestion de données. Cours de la filière préemploi 11e année : MATHÉMATIQUES DE LA VIE COURANTE (MEL3E) Rémunération, déclaration de revenus et achats Épargne, placement et emprunt Coûts de véhicules, de voyages et de moyens de transport 12e année : MATHÉMATIQUES DE LA VIE COURANTE (MEL4E) Gestion des données Budget de la vie courante Mesure et proportionnalité Tableau représente : 11e année : MATHÉMATIQUES DE LA VIE COURANTE (MEL3E) = 12e année : MATHÉMATIQUES DE LA VIE COURANTE (MEL4E) Le cours de 11e année de la filière préemploi, Mathématiques de la vie courante, aide les élèves à consolider les connaissances et les habiletés fondamentales en mathématiques qui sont utiles dans la vie professionnelle comme dans la vie quotidienne. Le cours est idéal pour les élèves qui souhaitent suivre le cours de 12e année de la filière préemploi avant d'obtenir leur diplôme de fin d'études secondaires et commencer à travailler. Le cours peut aussi servir aux élèves qui souhaitent satisfaire aux critères de mathématiques supérieures du diplôme de fin d'études et qui n'ont pas l'intention de suivre d'autres cours de mathématiques. Les trois domaines du cours, Rémunération, déclaration de revenus et achats, Épargne, placement et emprunt, et Coûts de véhicules, de voyages et de moyens de transport donnent aux élèves la possibilité de faire appel au raisonnement proportionnel pour résoudre divers types de problèmes. Le cours de 12e année de la filière préemploi, Mathématiques de la vie courante, élargit les connaissances et les habiletés, acquises en 11e année, dans le domaine Budget de la vie courante en traitant de sujets relatifs à l'achat ou à la location d'un logement et à l'élaboration d'un budget. Le domaine Gestion des données contient deux composantes principales : la collecte et l'analyse de renseignements et de données à une variable, et l'exploration des concepts de probabilité. Dans le domaine Mesure et proportionnalité, l'élève résout divers problèmes de mesure dans les systèmes métrique et impérial. Les attentes du cours favorisent le recours à des projets et à des expériences pratiques qui stimulent l'intérêt des élèves pour les mathématiques. LES ATTENTES ET LES CONTENUS D'APPRENTISSAGE À chaque domaine correspondent des attentes et des contenus d'apprentissage. Les attentes décrivent en termes généraux les connaissances et les habiletés que l'élève doit avoir acquises à la fin de chaque cours, tandis que les contenus d'apprentissage décrivent en détail ces connaissances et ces habiletés. L'élève démontrera sa compréhension de la matière dans son travail de classe, dans ses recherches ainsi que dans ses travaux, ses examens ou toute autre activité qui sert à évaluer son rendement. Les contenus d'apprentissage sont répartis en plusieurs rubriques qui portent chacune sur des aspects particuliers des connaissances et des habiletés précisées dans le cours. Cette répartition pourra aider le personnel enseignant à planifier les activités d'apprentissage. Cependant, le fait d'organiser les cours selon des domaines d'études et des rubriques ne signifie pas que les attentes et les contenus d'apprentissage d'un domaine ou d'une rubrique doivent être abordés séparément. Au contraire, le personnel enseignant devrait intégrer des attentes et des contenus d'apprentissage de divers domaines d'études et rubriques lorsque cela s'applique. Bon nombre de contenus d'apprentissage proposent à titre indicatif des exemples entre parenthèses. Ces exemples illustrent le type d'habileté, la portée de l'apprentissage ou le degré de complexité recherché. L'enseignante ou l'enseignant pourra s'en inspirer dans son enseignement. Plusieurs contenus d'apprentissage sont accompagnés également de problèmes modèles similaires aux problèmes que l'on retrouve dans des ressources pédagogiques ou des manuels scolaires. L'enseignante ou l'enseignant peut choisir de concentrer sa leçon sur un ou deux exemples suggérés ou en choisir d'autres. PROCESSUS MATHÉMATIQUES Les processus mathématiques constituent les éléments essentiels d'une formation mathématique puisqu'ils appuient l'acquisition et la mise en application de la connaissance et des habiletés mathématiques. Cette importance doit se retrouver dans un programme équilibré au secondaire. En établissant un lien avec les compétences de la grille d'évaluation et les processus mathématiques, l'enseignante ou l'enseignant s'assure que les élèves satisfont non seulement aux attentes du cours mais développent aussi les processus mathématiques nécessaires à la poursuite de leur apprentissage mathématique. Les processus mathématiques sont connus sous les appellations suivantes : • résolution de problèmes; • communication; • réflexion sur le caractère raisonnable des résultats; • raisonnement; • établissement de liens; • sélection d'outils technologiques ou de matériel approprié; • modélisation. Ces processus sont liés entre eux et, la résolution de problèmes et la communication sont indissociables des autres processus. Des activités de résolution de problèmes permettent aux élèves de développer leur raisonnement et d'acquérir de nouvelles connaissances. Appuyés par les enseignantes et les enseignants, les élèves formulent et vérifient des hypothèses et justifient leur démarche à l'aide d'arguments et de communications claires tout au long de leur travail. C'est ainsi que les élèves améliorent leur démarche respective et observent qu'il existe différentes façons de résoudre un même problème. L'analyse des différentes stratégies de résolution de problèmes permet aux élèves de réfléchir sur leur propre stratégie et de rendre cette stratégie plus efficace et efficiente. Les enseignantes et les enseignants doivent veiller au développement de ces processus tout au long du cours et les évaluer en présentant une gamme de problèmes qui font appel à tous les processus mathématiques. LA RÉSOLUTION DE PROBLÈMES La résolution de problèmes fait partie intégrante de l'apprentissage des mathématiques. C'est une démarche essentielle qui permet aux élèves : • de faire des rapprochements entre les situations de la vie courante et les mathématiques étudiées en salle de classe; • de développer leur compréhension des mathématiques; • de développer les habiletés de la pensée (savoir estimer, évaluer, classer, établir des liens, formuler des hypothèses, justifier une position et prendre une décision); • de raisonner, de communiquer, de faire des liens et d'appliquer leurs connaissances et habiletés; • de travailler en équipe et de communiquer leurs idées et leurs stratégies à leurs partenaires; • de développer leur confiance à l'égard des mathématiques. En choisissant des problèmes variés, à la fois pertinents et signifiants, le personnel enseignant peut amener ses élèves à développer progressivement différentes stratégies pour aborder un même problème. L'objectif visé consiste donc à élargir le répertoire des stratégies de résolution de problèmes puisqu'en entamant leurs études secondaires, les élèves en auront déjà intériorisé un certain nombre. Dans certains cas, l'utilisation d'une stratégie d'enseignement différente est plus appropriée pour les élèves. Par exemple, lorsque l'enseignante ou l'enseignant veut présenter une nouvelle stratégie pour résoudre un problème quelconque, l'enseignement explicite s'avère une excellente façon de le faire. On peut aussi y recourir pour présenter un nouveau concept, un symbole ou un terme mathématique. Les connaissances ainsi acquises augmentent la diversité des stratégies utilisées par les élèves pour résoudre des problèmes. LA COMMUNICATION La communication permet d'utiliser ses connaissances et ses compétences en mathématiques pour exprimer ou échanger des idées. Selon Radford et Demers5, « la communication en salle de classe de mathématiques est un moyen indispensable et incontournable d'apprentissage. Mais pour être efficace, la communication doit favoriser le recours à des raisonnements et à des argumentations mathématiques se rapportant aux concepts clés ». Toujours selon ces auteurs, la communication englobe diverses facettes de l'apprentissage des mathématiques. Il peut entre autres s'agir : • d'utiliser les concepts, la terminologie, les symboles et les conventions mathématiques; • d'écouter les propos mathématiques des camarades; • d'interpréter les arguments mathématiques des camarades; • d'évaluer de façon critique les arguments des camarades; • de réfuter un argument inexact; • d'organiser avec logique et efficacité la présentation du résultat d'une activité mathématique. 5. Luis Radford et Serge Demers, Communication et apprentissage – Repères conceptuels et pratiques pour la salle de classe de mathématiques, Ottawa, Centre franco-ontarien de ressources pédagogiques, 2004, p. 16. LA RÉFLEXION SUR LE CARACTÈRE RAISONNABLE DES RÉSULTATS La réflexion sur le caractère raisonnable des résultats d'un problème initial est un processus que les élèves doivent aussi inclure dans la démarche de résolution de problèmes. Cette réflexion consiste également à analyser la démarche suivie, ce qui permet de l'ajuster en fonction des difficultés éprouvées, des questions soulevées et de l'accès à de nouvelles informations ou données. LE RAISONNEMENT L'enseignement dispensé en salle de classe devrait toujours favoriser le raisonnement critique, c'est-à-dire promouvoir une approche systématique fondée sur une analyse rigoureuse de l'apprentissage des concepts mathématiques, des processus et de la résolution de problèmes. Lors de certaines activités, les élèves sont amenés à procéder par déduction, c'est-à-dire à suivre un raisonnement logique aboutissant à une conclusion, en se basant sur leurs connaissances antérieures. D'autres fois, les élèves effectuent un raisonnement inductif qui consiste à formuler une généralisation à partir d'observations notées lors d'une activité d'exploration. La présentation d'un contre-exemple à un énoncé quelconque doit également s'inscrire au nombre des stratégies auxquelles les élèves doivent recourir pour résoudre des problèmes au secondaire. L'ÉTABLISSEMENT DE LIENS C'est en proposant des activités qui permettent aux élèves d'établir des liens entre divers concepts à l'étude et entre les différents domaines des mathématiques qu'on les amène à une meilleure compréhension des principes généraux des mathématiques. Leur perception des mathématiques s'en trouve ainsi progressivement changée; dans leur esprit, les mathématiques formeront un tout cohérent et non plus un ensemble d'éléments disparates. Il est aussi important de démontrer qu'il existe des liens entre les mathématiques et la vie quotidienne. Les mathématiques permettent l'étude d'une situation en la modélisant afin d'analyser des résultats possibles. LA SÉLECTION D'OUTILS TECHNOLOGIQUES OU DE MATÉRIEL APPROPRIÉ En préparation à ses études postsecondaires ou au marché du travail, l'élève doit non seulement pouvoir effectuer les opérations de base à l'aide d'une calculatrice, mais aussi apprendre à utiliser d'autres outils technologiques à diverses fins, par exemple, un logiciel de géométrie dynamique pour vérifier une hypothèse, une sonde pour effectuer une collecte de données ou une calculatrice à affichage graphique pour représenter des relations. L'utilisation d'outils technologiques doit lui permettre d'explorer des situations et de chercher des régularités et non pas de se limiter à la saisie de données ni à la résolution d'un problème au moyen d'un algorithme. L'élève ne devrait avoir recours à la calculatrice que dans les situations d'apprentissage où le calcul en tant que tel ne constitue pas une priorité. Il faut se rappeler que l'élève vérifie la vraisemblance des résultats obtenus à l'aide de la calculatrice en se servant du calcul mental pour faire une estimation. En construisant lui-même un modèle mathématique, l'élève augmente sa compréhension du concept mathématique à l'étude. Il lui est ainsi possible d'établir des liens entre le concret et l'abstrait, de développer une compréhension plus approfondie de la solution et de mieux communiquer son raisonnement. LA MODÉLISATION (diagramme de la page 22 omit) Relation en situation Représentation graphique Table de valeurs Équation Le diagramme ci-dessus illustre les représentations utilisées pour modéliser une relation en situation. On doit pouvoir passer de l'une à l'autre et établir les liens entre elles. En mathématiques, la modélisation constitue un stade important du processus de résolution de problèmes. Modéliser, c'est traduire sous forme mathématique les données d'un problème illustrant une situation réelle. En étudiant différentes représentations d'une même situation, les élèves arrivent non seulement à mieux saisir les concepts mathématiques et à faire le lien entre eux, mais aussi à communiquer et à justifier avec plus de clarté et d'assurance leur démarche ou leur raisonnement. Cet apprentissage doit se faire au fur et à mesure que les expériences que réalisent les élèves en création de modèles mathématiques deviennent plus complexes, par exemple en passant des fonctions du second degré en 10e année aux fonctions exponentielle et trigonométrique en 11e année et aux fonctions logarithmiques en 12e année. ÉVALUATION DU RENDEMENT DE L'ÉLÈVE LE PROCESSUS D'ÉVALUATION DU RENDEMENT DE L'ÉLÈVE L'objectif premier de l'évaluation consiste à améliorer l'apprentissage de l'élève. Les données recueillies au moyen de l'évaluation aident le personnel enseignant à cerner les points forts et les points faibles de l'élève par rapport aux attentes visées. Ces données permettent aussi au personnel enseignant d'adapter le programme et les approches pédagogiques aux besoins de l'élève et d'en évaluer l'efficacité globale. Le processus d'évaluation consiste d'abord à recueillir des données provenant de diverses sources, notamment les présentations, les projets, les activités et les tests qui témoignent jusqu'à quel point l'élève satisfait aux attentes. L'enseignante ou l'enseignant peut donner à l'élève une rétroaction descriptive qui le guidera dans ses efforts pour s'améliorer. Il s'agit ensuite de juger de la qualité du travail de l'élève en fonction des critères établis et d'y attribuer une valeur. L'enseignante ou l'enseignant fondera l'évaluation sur les attentes du curriculum en se servant de la grille d'évaluation du programme-cadre, conformément aux consignes énoncées dans le présent document. Pour assurer la validité et la fiabilité de l'évaluation ainsi que pour favoriser l'amélioration du rendement scolaire, l'enseignante ou l'enseignant doit utiliser des stratégies d'évaluation qui : • portent sur la matière enseignée et sur la qualité de l'apprentissage de l'élève; • sont fondées sur la grille d'évaluation du rendement (pages 26 et 27) qui met en relation quatre grandes compétences et les descriptions des niveaux de rendement; • sont diversifiées et échelonnées tout au long de l'année d'études pour donner à l'élève des possibilités suffisantes de montrer l'étendue de son apprentissage; • conviennent aux activités d'apprentissage, aux attentes et aux contenus d'apprentissage, de même qu'aux besoins et aux expériences de l'élève; • sont justes pour tous les élèves; • tiennent compte des besoins de l'élève en difficulté, conformément aux stratégies décrites dans son plan d'enseignement individualisé (PEI); • tiennent compte des besoins de l'élève inscrit au programme d'actualisation linguistique en français (ALF) ou de perfectionnement du français (PDF); • favorisent la capacité de l'élève à s'autoévaluer et à se fixer des objectifs précis; reposent sur des échantillons des travaux de l'élève illustrant bien son niveau de rendement; • servent à communiquer à l'élève la direction à prendre pour améliorer son rendement; • sont communiquées clairement à l'élève et aux parents au début du cours et à tout autre moment approprié durant l'année scolaire. Le niveau 3 de la grille d'évaluation (pages 26 et 27) correspond à la norme provinciale. Le rendement à ce niveau est pleinement satisfaisant. Le personnel enseignant et les parents peuvent considérer que l'élève ayant un rendement de niveau 3 sera bien préparé pour le cours suivant. Le niveau 1, bien qu'il indique une réussite, signifie que l'élève a démontré un rendement inférieur à la norme provinciale. Le niveau 2 indique un rendement moyen qui se rapproche de la norme provinciale. Le niveau 4 signifie que le rendement de l'élève est supérieur à la norme provinciale. Cependant, cela ne veut pas dire que l'élève dépasse les attentes du cours, mais plutôt qu'il démontre une compréhension plus approfondie de la matière que l'élève dont le rendement se situe au niveau 3. Le ministère de l'Éducation met à la disposition du personnel enseignant de la documentation qui l'aidera à améliorer ses méthodes et stratégies d'évaluation et, par conséquent, son évaluation du rendement de l'élève. Cette documentation comprend des échantillons de travaux d'élèves (appelés copies types) qui illustrent chacun des quatre niveaux de rendement. LA GRILLE D'ÉVALUATION DU RENDEMENT La grille d'évaluation du rendement en mathématiques sera utilisée par le personnel enseignant de toute la province. Elle lui permettra de porter un jugement sur le rendement de l'élève basé sur des niveaux de rendement clairs et précis et sur des données recueillies sur une période prolongée. La grille d'évaluation du rendement vise à : • fournir un cadre qui couvre les attentes pour tous les cours du programme-cadre; • guider l'enseignante ou l'enseignant lors de l'élaboration d'instruments de mesure, y compris des grilles adaptées; • guider l'enseignante ou l'enseignant dans la planification de son enseignement; • communiquer à l'élève ses points forts et ceux à améliorer; • préciser les compétences et les critères d'après lesquels sera évalué le rendement de l'élève. La grille porte sur les quatre compétences suivantes : Connaissance et compréhension, Habiletés de la pensée, Communication et Mise en application. Ces compétences couvrent l'ensemble des éléments à l'étude et des habiletés visés par les attentes et les contenus d'apprentissage. Elles sont précisées par des critères clairs et sont complémentaires. L'enseignante ou l'enseignant doit déterminer quelles compétences utiliser pour évaluer la satisfaction des attentes. Les compétences doivent être mesurées et évaluées de manière équilibrée tout au long du cours. De plus, il est essentiel de donner à l'élève des occasions multiples et diverses de démontrer jusqu'à quel point il a satisfait aux attentes et ce, pour chacune des quatre compétences. Les compétences sont définies comme suit : • La compétence Connaissance et compréhension est la construction du savoir propre à la discipline, soit la connaissance des éléments à l'étude et la compréhension de leur signification et de leur portée. • La compétence Habiletés de la pensée est l'utilisation d'un ensemble d'habiletés liées aux processus de la pensée critique et de la pensée créative. Elles comprennent les habiletés liées à la planification (p. ex. compilation de données, organisation de l'information) et au traitement de l'information (p. ex. analyse, interprétation, synthèse, évaluation). Les processus comprennent entre autres l'évaluation d'un raisonnement, la justification et la démonstration par une preuve. • La compétence Communication est la transmission des idées et de l'information selon différentes formes et divers moyens. L'information et les idées peuvent être communiquées de façon orale (p. ex. exposés), de façon écrite (p. ex. comptes rendus, rapports, résolution d'un problème, représentation graphique) ou visuelle (p. ex. multimédia). • La compétence Mise en application est l'application des éléments à l'étude et des habiletés dans des contextes familiers et leur transfert à de nouveaux contextes. Dans la grille d'évaluation du rendement une série de critères viennent préciser davantage chaque compétence et définissent les dimensions du rendement de l'élève qui sont évaluées. Par exemple, le premier critère sous la compétence Connaissance et compréhension est la « connaissance des éléments à l'étude (p. ex. terminologie, algorithmes) ». Les descripteurs permettent à l'enseignante ou l'enseignant de poser un jugement professionnel sur la qualité du rendement de l'élève et de lui donner une rétroaction descriptive. Dans la grille d'évaluation du rendement, le type de descripteur utilisé pour tous les critères des trois dernières compétences de la grille est l'efficacité. On définit l'efficacité comme la capacité de réaliser entièrement le résultat attendu. L'enseignante ou l'enseignant pourra se servir d'autres types de descripteur (p. ex. la convenance, la clarté, l'exactitude, la précision, la logique, la pertinence, la cohérence, la souplesse, la profondeur, l'envergure) en fonction de la compétence et du critère visés au moment d'élaborer des grilles adaptées. Par exemple, l'enseignante ou l'enseignant pourrait déterminer le niveau d'efficacité pour la compétence Habiletés de la pensée en évaluant l'aspect logique d'une analyse; pour la compétence Communication, il pourrait déterminer le niveau de clarté de la communication des idées; pour la compétence Mise en application, il pourrait évaluer la convenance et l'envergure des liens établis. De la même façon pour la compétence Connaissance et compréhension, l'évaluation de la connaissance des éléments à l'étude pourrait porter sur l'exactitude des faits, tandis que celle de la compréhension des éléments à l'étude pourrait porter sur la justification d'un travail. L'échelle de progression (p. ex. avec une efficacité limitée, avec une certaine efficacité, avec efficacité ou avec beaucoup d'efficacité) qualifie le rendement de l'élève à chacun des niveaux de la grille. Par exemple, pour l'élève dont le rendement se situe au niveau 3 par rapport au premier critère de la compétence Habiletés de la pensée, on dirait qu'il « utilise les habiletés de planification avec efficacité ». GRILLE D'ÉVALUATION DU RENDEMENT EN MATHÉMATIQUES Compétence : Connaissance et compréhension – La construction du savoir propre à la discipline, soit la connaissance des éléments à l'étude et la compréhension de leur signification et de leur portée L'élève : Connaissance des éléments à l'étude (p. ex. terminologie, algorithmes) 50-59 % (Niveau 1) démontre une connaissance limitée des éléments à l'étude. 60-69 % (Niveau 2) démontre une connaissance partielle des éléments à l'étude. 70-79 % (Niveau 3) démontre une bonne connaissance des éléments à l'étude. 80-100 % (Niveau 4) démontre une connaissance approfondie des éléments à l'étude. Compréhension des éléments à l'étude (p. ex. concepts, habiletés, procédures, processus) 50-59 % (Niveau 1) démontre une compréhension limitée des éléments à l'étude. 60-69 % (Niveau 2) démontre une compréhension partielle des éléments à l'étude. 70-79 % (Niveau 3) démontre une bonne compréhension des éléments à l'étude. 80-100 % (Niveau 4) démontre une compréhension approfondie des éléments à l'étude. Compétence : Habiletés de la pensée – L'utilisation d'un ensemble d'habiletés liées aux processus de la pensée critique et de la pensée créative L'élève : Utilisation des habiletés de planification (p. ex. compilation de données, organisation de l'information) 50-59 % (Niveau 1) utilise les habiletés de planification avec une efficacité limitée. 60-69 % (Niveau 2) utilise les habiletés de planification avec une certaine efficacité. 70-79 % (Niveau 3) utilise les habiletés de planification avec efficacité. 80-100 % (Niveau 4) utilise les habiletés de planification avec beaucoup d'efficacité. Utilisation des habiletés de traitement de l'information (p. ex. analyse, interprétation, synthèse, évaluation) 50-59 % (Niveau 1) utilise les habiletés de traitement de l'information avec une efficacité limitée. 60-69 % (Niveau 2) utilise les habiletés de traitement de l'information avec une certaine efficacité. 70-79 % (Niveau 3) utilise les habiletés de traitement de l'information avec efficacité. 80-100 % (Niveau 4) utilise les habiletés de traitement de l'information avec beaucoup d'efficacité. Utilisation des processus de la pensée critique (p. ex. évaluer un raisonnement, justifier, démontrer par une preuve) 50-59 % (Niveau 1) utilise les processus de la pensée critique et de la pensée créative avec une efficacité limitée. 60-69 % (Niveau 2) utilise les processus de la pensée critique et de la pensée créative avec une certaine efficacité. 70-79 % (Niveau 3) utilise les processus de la pensée critique et de la pensée créative avec efficacité. 80-100 % (Niveau 4) utilise les processus de la pensée critique et de la pensée créative avec beaucoup d'efficacité. Compétence : Communication – La transmission des idées et de l'information selon différentes formes et divers moyens L'élève : Expression et organisation des idées et de l'information 50-59 % (Niveau 1) exprime et organise les idées et l'information avec une efficacité limitée. 60-69 % (Niveau 2) exprime et organise les idées et l'information avec une certaine efficacité. 70-79 % (Niveau 3) exprime et organise les idées et l'information avec efficacité. 80-100 % (Niveau 4) exprime et organise les idées et l'information avec beaucoup d'efficacité. Communication des idées et de l'information de façon orale (p. ex. exposés), écrite (p. ex. comptes rendus, rapports, résolution d'un problème, représentation graphique) et visuelle p. ex. multimédia) à des fins précises 50-59 % (Niveau 1) communique les idées et l'information à des fins précises et pour des auditoires spécifiques avec une efficacité limitée. 60-69 % (Niveau 2) communique les idées et l'information à des fins précises et pour des auditoires spécifiques avec une certaine efficacité. 70-79 % (Niveau 3) communique les idées et l'information à des fins précises et pour des auditoires spécifiques avec efficacité. 80-100 % (Niveau 4) communique les idées et l'information à des fins précises et pour des auditoires spécifiques avec beaucoup d'efficacité. Utilisation des conventions (p. ex. symboles, unités de mesure) et de la terminologie à l'étude 50-59 % (Niveau 1) utilise les conventions et la terminologie à l'étude avec une efficacité limitée. 60-69 % (Niveau 2) utilise les conventions et la terminologie à l'étude avec une certaine efficacité. 70-79 % (Niveau 3) utilise les conventions et la terminologie à l'étude avec efficacité. 80-100 % (Niveau 4) utilise les conventions et la terminologie à l'étude avec beaucoup d'efficacité. Compétence : Mise en application – L'application des éléments à l'étude et des habiletés dans des contextes familiers et leur transfert à de nouveaux contextes L'élève : Application des connaissances et des habiletés (p. ex. éléments à l'étude, choix des concepts ou d'outils) dans des contextes familiers 50-59 % (Niveau 1) applique les connaissances et les habiletés dans des contextes familiers avec une efficacité limitée. 60-69 % (Niveau 2) applique les connaissances et les habiletés dans des contextes familiers avec une certaine efficacité. 70-79 % (Niveau 3) applique les connaissances et les habiletés dans des contextes familiers avec efficacité. 80-100 % (Niveau 4) applique les connaissances et les habiletés dans des contextes familiers avec beaucoup d'efficacité. Transfert des connaissances et des habiletés (p. ex. résolution de problèmes) dans de nouveaux contextes 50-59 % (Niveau 1) transfère les connaissances et les habiletés à de nouveaux contextes avec une efficacité limitée. 60-69 % (Niveau 2) transfère les connaissances et les habiletés à de nouveaux contextes avec une certaine efficacité. 70-79 % (Niveau 3) transfère les connaissances et les habiletés à de nouveaux contextes avec efficacité. 80-100 % (Niveau 4) transfère les connaissances et les habiletés à de nouveaux contextes avec beaucoup d'efficacité. Établissement de liens (p. ex. entre les domaines, entre des concepts) 50-59 % (Niveau 1) établit des liens avec une efficacité limitée. 60-69 % (Niveau 2) établit des liens avec une certaine efficacité. 70-79 % (Niveau 3) établit des liens avec efficacité. 80-100 % (Niveau 4) établit des liens avec beaucoup d'efficacité. LA COMMUNICATION DU RENDEMENT Le bulletin scolaire de l'Ontario de la 9e à la 12e année doit servir à communiquer officiellement à l'élève et à ses parents le rendement scolaire fourni. Compte rendu de la satisfaction des attentes. Le bulletin scolaire dresse un bilan du rendement que l'élève a fourni par rapport aux attentes des cours suivis, pendant une période déterminée du semestre ou de l'année scolaire, sous forme de notes exprimées en pourcentage. La note en pourcentage représente la qualité du rendement global de l'élève en fonction des attentes du cours et indique le niveau de rendement correspondant dans la grille d'évaluation de la discipline. Une note finale est inscrite à la fin de chaque cours et le crédit correspondant est accordé si l'élève a obtenu une note de 50 % ou plus. Pour chaque cours de la 9e à la 12e année, la note finale sera déterminée comme suit : • Soixante-dix pour cent (70 %) de la note de chaque cours sera fondé sur les évaluations effectuées tout au long du cours. Cette portion de la note devrait refléter le niveau de rendement le plus fréquent durant le cours, bien qu'il faille accorder une attention particulière aux niveaux de rendement les plus récents. • Trente pour cent (30 %) de la note sera fondé sur l'évaluation finale, sous forme d'examen, de travail, de recherche ou de tout autre mode d'évaluation approprié. Cette évaluation aura lieu vers la fin du cours. Compte rendu sur les habiletés à développer. Le bulletin scolaire rend compte des habiletés d'apprentissage démontrées par l'élève dans chacun des cours, dans les six catégories suivantes : l'utilisation du français parlé, l'autonomie, la collaboration en équipe, l'organisation, les habitudes de travail/devoirs et l'initiative. Ces habiletés d'apprentissage sont évaluées au moyen d'une échelle à quatre degrés (E - excellent, T - très bien, S - satisfaisant, N - amélioration nécessaire). La décision d'évaluer et de rendre compte de façon distincte des habiletés d'apprentissage dans ces six catégories est fondée sur leur rôle essentiel dans la capacité des élèves de réaliser les attentes des cours. L'évaluation des habiletés d'apprentissage, sauf celles qui peuvent faire partie intégrante des attentes du cours, ne doit pas être prise en considération dans la détermination des notes en pourcentage, car celles-ci devraient uniquement représenter la mesure dans laquelle l'élève a satisfait aux attentes du cours. Les politiques relatives à ce sujet sont tracées dans le Guide du bulletin scolaire de la 9e à la 12e année, 1999. Ce document est posté sur le site Web du ministère de l'Éducation à www.edu.gov.on.ca. CONSIDÉRATIONS CONCERNANT LA PLANIFICATION DU PROGRAMME L'enseignante ou l'enseignant doit planifier ses cours de mathématiques en tenant compte de certaines considérations, notamment celles qui sont présentées ci-dessous. LES STRATÉGIES D'ENSEIGNEMENT ET D'APPRENTISSAGE L'élève apprend mieux lorsqu'on lui offre un éventail d'activités d'apprentissage. Il faudrait privilégier les approches qui encouragent l'élève à faire des recherches, à développer son esprit critique, à travailler en équipe et à proposer des solutions à des préoccupations dans son milieu. Ces approches favorisent un apprentissage actif qui permet à l'élève de mieux assimiler les notions présentées et d'appliquer les connaissances et les habiletés acquises à des problèmes et à des situations de la vie réelle et, ce faisant, de développer ses propres compétences. Cet apprentissage se combine bien à l'apprentissage coopératif en petits groupes. L'enseignante ou l'enseignant pourrait inviter les élèves à travailler en équipe pour discuter des différentes stratégies possibles pour résoudre un problème. Afin d'encourager la tenue d'un dialogue constructif, l'enseignante ou l'enseignant pourrait aussi tenir des séances de révision de problèmes avec toute la classe, organiser des groupes pour l'exploration d'un concept et inviter des personnes de l'extérieur à examiner avec le groupe classe des situations pouvant être modélisées par une fonction mathématique. Lorsque les interactions sont nombreuses et diversifiées à l'intérieur de la classe, les enseignantes et enseignants sont davantage en mesure d'examiner les résultats de l'apprentissage des élèves. Il ne faudrait pas cependant négliger les travaux individuels ou en équipe qui permettent une réflexion personnelle chez l'élève. L'enseignante ou l'enseignant qui planifie son enseignement devrait miser sur des activités adaptées à son groupe classe pour favoriser chez les élèves l'acquisition des connaissances et des habiletés dont ils ont besoin pour faire les applications et les transferts appropriés et effectuer des recherches de plus en plus complexes. Il n'y a pas qu'une seule façon d'enseigner et d'apprendre les mathématiques. Ce programme-cadre exige l'utilisation d'une variété de stratégies en salle de classe; l'utilisation de matériel concret au secondaire permet aux élèves de mieux se représenter et de mieux comprendre des notions abstraites de mathématiques. L'enseignante ou l'enseignant réservera aussi du temps pour s'adonner avec les élèves à l'objectivation à la suite de chaque activité d'apprentissage, cette pratique faisant partie intégrante de la démarche pédagogique. La création d'un milieu d'enseignement et d'apprentissage stimulant et engageant pour les garçons comme pour les filles est important. L'enseignante ou l'enseignant prendra en compte le mode d'apprentissage selon le genre dans le choix des activités, des interventions, des ressources et des projets afin que chaque élève, garçon ou fille, puisse développer un rapport positif aux mathématiques et apprendre à sa manière selon ses préférences. L'apprentissage du français dans toutes les matières contribue au développement des connaissances et des habiletés liées à la littératie. Les enseignantes et enseignants s'assureront que les élèves sont exposés à une variété d'occasions d'expérimenter avec la langue et avec le savoir, en insistant sur un enseignement pluridisciplinaire. La matière de tout cours de mathématiques peut être combinée à celle d'un ou de plusieurs cours d'une autre discipline afin de créer un cours interdisciplinaire comme par exemple un cours en économie. Les politiques et les modalités alors applicables sont présentées dans le programme-cadre distinct régissant l'élaboration de cours interdisciplinaires (voir Le curriculum de l'Ontario, 11e et 12e année – Études interdisciplinaires, 2002, document posté sur le site Web du ministère de l'Éducation à ww.edu.gov.on.ca). LES HABILETÉS DE LA PENSÉE ET DE LA RECHERCHE Dans les cours de mathématiques, l'élève développe sa capacité à formuler des questions et à planifier les recherches nécessaires pour y répondre. On lui apprend diverses méthodes utiles en recherche et comment choisir celles qui sont adaptées à une recherche particulière. L'élève saura comment tirer des renseignements pertinents de sources imprimées (p. ex. livres, journaux, entrevues, diagrammes, graphiques) et médiatiques (p. ex. Internet, télévision, radio), et dégager des perspectives d'avenir. Avec le temps et l'expérience, l'élève utilisera ces sources d'une manière de plus en plus précise et approfondie, et fera la distinction entre sources primaires et sources secondaires pour déterminer leur validité et leur pertinence, et pour en tirer profit de manière adéquate. Ceci est particulièrement vrai en ce qui a trait aux sources électroniques. L'IMPORTANCE DE L'ACTUALITÉ Les discussions qui portent sur les événements courants, en particulier ceux qui touchent la communauté francophone, suscitent non seulement l'intérêt de la classe, mais aident aussi l'élève à comprendre son monde, à saisir la relation qui existe entre les événements du passé et les situations d'aujourd'hui et à esquisser des perspectives d'avenir. L'étude des événements courants (p. ex. croissance économique, sondage, prévisions météorologiques) ne doit pas être présentée comme un sujet à part dans le programme, mais doit être intégrée à l'étude des contenus d'apprentissage dont ces événements sont l'extension. LA PLANIFICATION DES COURS DE MATHÉMATIQUES DESTINÉS AUX ÉLÈVES EN DIFFICULTÉ Les enseignantes et enseignants sont les principaux intervenants en matière d'éducation des élèves en difficulté puisqu'il leur incombe d'aider tous les élèves à apprendre. À cette fin, ils travaillent en collaboration avec le personnel enseignant responsable de l'éducation de l'enfance en difficulté pour atteindre cet objectif. Le rapport intitulé Transformation de l'éducation de l'enfance en difficulté : Rapport des coprésidentes avec les recommandations de la Table de concertation sur l'éducation de l'enfance en difficulté, 2006 a approuvé une série de principes sur lesquels devrait reposer l'ensemble de la planification des programmes destinés aux élèves en difficulté. Ces principes directeurs sont repris du rapport intitulé L'éducation pour tous, de la Table ronde des experts pour l'enseignement en matière de littératie et de numératie pour les élèves ayant des besoins particuliers de la maternelle à la 6e année. Le personnel enseignant qui planifie les cours de mathématiques devrait y accorder une attention particulière. La planification des programmes destinés aux élèves en difficulté devrait reposer sur les grands principes exposés dans le rapport précité; les sept énoncés suivants en précisent le contenu : • Tous les élèves peuvent réussir. • La conception universelle de l'apprentissage et la pédagogie différenciée sont des moyens pour répondre aux besoins d'apprentissage et de réussite de tout groupe d'élèves. • Des pratiques réussies d'enseignement s'appuient sur les recherches et les expériences vécues. • Les enseignantes et enseignants sont les acteurs clés du développement des compétences des élèves en littératie et en numératie. • Chaque enfant possède son propre profil d'apprentissage. • Le personnel enseignant a besoin de l'appui de la communauté pour créer un milieu d'apprentissage favorable aux élèves ayant des besoins particuliers. • Chaque élève est unique. Dans toute salle de classe, les élèves peuvent présenter toute une série de styles et de besoins d'apprentissage. Le personnel enseignant prévoit des programmes qui tiennent compte de cette diversité et confie aux élèves des tâches qui correspondent à leurs habiletés précises pour que tous les élèves profitent au maximum du processus d'enseignement et d'apprentissage. Le recours à des groupes souples dans le cadre de l'enseignement et l'évaluation continue constituent des composantes importantes des programmes qui tiennent compte de la diversité des besoins d'apprentissage. Au moment de la planification du programme de mathématiques à l'intention de l'élève en difficulté, le personnel enseignant devrait commencer par examiner le niveau de rendement actuel de l'élève, ses points forts et ses besoins d'apprentissage, de même que les connaissances et les habiletés qui sont attendues de la part des élèves à la fin du cours, afin de déterminer celle des options suivantes qui est la plus appropriée : • aucune adaptation6 ni modification; • adaptations seulement; • attentes modifiées et adaptations au besoin; • attentes différentes qui ne découlent pas des attentes prescrites des cours de mathématiques faisant partie du présent programme-cadre. Si l'élève requiert des adaptations, des attentes modifiées ou une combinaison des deux, il faut consigner, dans son plan d'enseignement individualisé (PEI), les renseignements pertinents qui figurent dans les paragraphes ci-dessous. On trouvera des renseignements plus détaillés sur la planification des programmes pour l'enfance en difficulté dans le document intitulé Plan d'enseignement individualisé - Guide, 2004 (appelé ci-après Guide du PEI, 2004). Pour en savoir davantage sur les exigences du ministère de l'Éducation sur les PEI, consulter le document intitulé Plan d'enseignement individualisé – Normes pour l'élaboration, la planification des programmes et la mise en oeuvre, 2000 (appelé ci-après Normes du PEI, 2000). Ces deux documents sont affichés sur le site Web du ministère de l'Éducation à www.edu.gov.on.ca. 6. Les adaptations désignent des stratégies d'enseignement et d'évaluation individualisées, un soutien fourni par du personnel ou par un équipement personnalisé. L'élève en difficulté qui ne requiert que des adaptations Certains élèves en difficulté peuvent suivre le curriculum prévu pour le cours et démontrer un apprentissage autonome si on leur fournit des adaptations. Les adaptations facilitent l'accès au cours sans avoir à modifier les connaissances et les habiletés que l'élève doit manifester. Les adaptations requises pour faciliter l'apprentissage de l'élève doivent être inscrites dans le PEI (voir page 11 des Normes du PEI, 2000). Les mêmes adaptations seront probablement inscrites dans le PEI pour plusieurs cours, voire tous les cours. Offrir des adaptations aux élèves en difficulté devrait être la première option envisagée dans le cadre de la planification des programmes. Les élèves en difficulté peuvent réussir lorsqu'on leur offre des adaptations appropriées. L'enseignement axé sur la conception universelle et la pédagogie différenciée met l'accent sur la disponibilité des adaptations permettant de satisfaire les besoins divers des apprenantes et apprenants. Il existe trois types d'adaptations. • Les adaptations pédagogiques désignent les changements apportés aux stratégies d'enseignement tels que les styles de présentation, les méthodes d'organisation et l'utilisation d'outils technologiques et multimédias. • Les adaptations environnementales désignent les changements apportés à la salle de classe ou au milieu scolaire, tels que la désignation préférentielle d'une place ou le recours à un éclairage particulier. • Les adaptations en matière d'évaluation désignent les changements apportés aux stratégies d'évaluation pour permettre à l'élève de démontrer son apprentissage. Par exemple, on pourrait lui donner plus de temps pour terminer les examens ou ses travaux scolaires, ou lui permettre de répondre oralement à des questions d'examen (pour d'autres exemples, voir page 33 du Guide du PEI, 2004). Si seules des adaptations sont nécessaires dans les cours de mathématiques, le rendement de l'élève sera évalué par rapport aux attentes du cours et par rapport aux niveaux de rendement décrits dans le présent document. La case du PEI sur le bulletin scolaire de l'Ontario ne sera pas cochée et on n'inclura pas d'information sur l'offre d'adaptations. L'élève en difficulté qui requiert des attentes modifiées Certains élèves en difficulté auront besoin d'attentes et de tâches modifiées qui ne correspondent pas aux attentes ni aux tâches prévues pour le cours. Dans la plupart des cas, ces attentes modifiées seront fondées sur la matière du cours, mais refléteront des changements en ce qui a trait à leur nombre et à leur complexité. Les attentes modifiées représentent des réalisations précises, réalistes, observables et mesurables, et décrivent les connaissances ou les habiletés précises que l'élève peut démontrer de façon autonome, en utilisant au besoin des adaptations en matière d'évaluation. Il est important de vérifier l'étendue des modifications apportées aux attentes et de les noter clairement dans le PEI. Tel qu'indiqué dans la section 7.12 du document de politique ministériel Les écoles secondaires de l'Ontario de la 9e à la 12e année – Préparation au diplôme d'études secondaires de l'Ontario, 1999, il reviendra à la directrice ou au directeur d'école de déterminer si la réalisation des attentes modifiées fondées sur le niveau de rendement actuel de l'élève signifie que l'élève a réussi le cours et si l'élève peut recevoir un crédit pour le cours. La directrice ou le directeur d'école informera les parents et l'élève de sa décision. Lorsqu'on s'attend à ce qu'un élève satisfasse à la plupart des attentes d'un cours, les attentes modifiées devraient indiquer comment les connaissances, les habiletés et les tâches de l'élève différeront de celles des autres élèves suivant ce cours. Lorsque les modifications sont si étendues que la réalisation des attentes d'apprentissage (connaissances, habiletés, tâches) ne donnerait probablement pas droit à un crédit, les attentes devraient spécifier les exigences précises ou les tâches d'après lesquelles le rendement de l'élève sera évalué et en fonction desquelles une note pour le cours sera inscrite dans le bulletin scolaire de l'Ontario. Les attentes modifiées indiquent les connaissances ou les habiletés que l'élève devrait pouvoir démontrer et qui seront évaluées lors de chaque période visée par le bulletin scolaire (voir pages 10 et 11 des Normes du PEI, 2000). Les attentes d'apprentissage de l'élève doivent être revues une fois au moins lors de chaque période visée par le bulletin scolaire et être mises à jour, au besoin, à la lumière des progrès accomplis par l'élève (voir page 11 des Normes du PEI, 2000). Si l'élève requiert des attentes modifiées en mathématiques, l'évaluation de son rendement sera fondée sur les attentes d'apprentissage inscrites dans son PEI et sur les niveaux de rendement décrits dans le présent document. Si certaines des attentes d'apprentissage d'un élève pour un cours sont modifiées, mais que l'élève essaie d'obtenir un crédit pour ce cours, il suffit de cocher la case PEI sur le bulletin scolaire de l'Ontario. Cependant, si les attentes d'apprentissage de l'élève sont modifiées de telle façon que la directrice ou le directeur d'école estime qu'un crédit ne sera pas conféré pour le cours, la case PEI doit être cochée et on doit inscrire l'énoncé approprié du Guide d'utilisation du bulletin scolaire de l'Ontario de la 9e à la 12e année, 1999 (page 7). Les commentaires de l'enseignante ou l'enseignant devraient comprendre des renseignements pertinents sur la capacité de l'élève à démontrer qu'il a satisfait aux attentes modifiées. Le personnel enseignant doit aussi indiquer les prochaines étapes de l'apprentissage de l'élève dans le cadre du cours. L'ÉLÈVE DES PROGRAMMES D'ACTUALISATION LINGUISTIQUE EN FRANÇAIS ET DE PERFECTIONNEMENT DU FRANÇAIS L'école tient compte des différences linguistiques, scolaires ou socioculturelles de ses élèves et répond à leurs besoins particuliers en leur offrant les programmes de soutien appropriés. Le programme ALF s'adresse à l'élève qui a une connaissance limitée du français ou qui manque de familiarité avec la langue d'enseignement. Il lui permet d'acquérir les compétences linguistiques indispensables à la poursuite de ses études et d'enrichir son répertoire linguistique. Il favorise aussi le développement d'une attitude positive face à l'utilisation du français. Dans certains cas, les élèves doivent se familiariser avec le français, les expressions et le vocabulaire couramment utilisés dans les écoles de langue française et dans les programmes d'études afin d'assurer leur réussite et leur intégration à l'école, à la communauté ou à l'espace francophone dont ils font partie. Le programme de perfectionnement du français (PDF) s'adresse à l'élève qui parle français mais qui a connu une scolarisation très différente de celle que reçoivent les élèves des écoles de langue française de l'Ontario ou qui a subi des interruptions dans sa scolarité. Il lui permet d'acquérir et de perfectionner ses compétences de base en lecture, en écriture et en mathématiques et d'enrichir son répertoire linguistique afin d'intégrer et de suivre avec plus d'aisance le programme régulier. Il lui permet aussi de se familiariser avec les particularités du système d'enseignement de langue française et avec son nouveau milieu socioculturel. Ces deux programmes permettent aux élèves d'acquérir les connaissances et les compétences nécessaires à la réussite de leurs études et à leur insertion dans le monde du travail. Ces programmes d'appui visent l'intégration rapide au programme d'études régulier. L'enseignante ou l'enseignant doit porter une attention particulière à l'élève inscrit au programme d'ALF ou de PDF. Il lui faudra veiller en particulier à ce que l'élève comprenne et assimile la terminologie propre au français, acquière les compétences fondamentales requises dans ces matières et se familiarise avec les référents culturels propres à la francophonie. L'enseignante ou l'enseignant choisira des stratégies d'enseignement et des activités appropriées aux besoins de l'élève du programme d'ALF ou de PDF, en consultation avec l'enseignante ou l'enseignant de l'un et de l'autre de ces programmes, et adaptera le matériel d'apprentissage en conséquence. L'enseignante ou l'enseignant doit créer un milieu sécurisant où l'élève constate l'acceptation de tous. L'élève se sentira plus à l'aise, ce qui lui permettra de prendre des risques, de s'exprimer et d'apprendre plus aisément. Pour faciliter l'apprentissage de l'élève, l'enseignante ou l'enseignant pourra recourir aux pratiques suivantes : • partir du vécu de l'élève et de ses connaissances; • vérifier régulièrement si l'élève comprend; • mettre l'accent sur les idées clés et communiquer avec l'élève dans un langage clair et précis; • mettre l'accent sur les valeurs propres à la francophonie locale, nationale et internationale; • utiliser des indices visuels et du matériel concret si l'élève est au niveau débutant dans l'apprentissage du français; • ajuster les attentes en fonction du niveau de langue de l'élève et de sa date d'arrivée au Canada; • présenter le vocabulaire utilisé dans la discipline pour aider l'élève à comprendre le contenu de la leçon; • faciliter l'entraide entre les élèves; • favoriser l'appropriation de référents culturels. On peut consulter Le curriculum de l'Ontario, de la 9e à la 12e année – Actualisation linguistique en français et Perfectionnement du français, 1999 sur le site Web du ministère de l'Éducation à www.edu.gov.on.ca. L'ÉDUCATION ANTIDISCRIMINATOIRE DANS LE PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES Comme tous les programmes-cadres qui composent le curriculum de l'Ontario, le programme de mathématiques prépare l'élève à devenir une citoyenne ou un citoyen responsable qui comprend la société complexe dans laquelle elle ou il vit et qui y participe pleinement. On s'attend donc à ce que l'élève comprenne bien en quoi consistent les droits, les privilèges et les responsabilités inhérents à la citoyenneté. On s'attend aussi à ce que, dans ses paroles et dans ses actes, il fasse preuve de respect, d'ouverture et de compréhension envers les individus, les groupes et les autres cultures. Pour ce faire, l'élève doit comprendre toute l'importance de protéger et de respecter les droits de la personne et de s'opposer au racisme et à toute autre forme de discrimination et d'expression de haine. De plus, la contribution des peuples autochtones à la richesse et à la diversité de la vie au Canada doit être valorisée et appréciée. En ce qui a trait tout particulièrement au présent programme-cadre, on amènera l'élève à reconnaître la contribution de personnalités francophones et francophiles de différentes cultures à l'avancement et à la diffusion des mathématiques au Canada et dans le monde. Les activités d'apprentissage mises en place dans le cadre du programme devraient être de nature inclusive, refléter divers points de vue et expériences et sensibiliser l'élève aux expériences et à la perception des autres. Les habiletés de réflexion et de recherche acquises selon ce programme apprendront à l'élève à reconnaître les partis pris, les stéréotypes et les représentations fondées sur des préjugés et à comprendre comment les relations interpersonnelles sont réellement gérées dans un contexte de mondialisation. L'éducation inclusive vise à fournir à tous les élèves de la province une chance égale d'atteindre leur plein potentiel en leur permettant d'évoluer dans un environnement sain et sécuritaire. En effet, les élèves ont besoin d'un climat de classe sécurisant et propice à l'apprentissage pour s'épanouir et développer leurs connaissances et leurs compétences, y compris leurs habiletés intellectuelles de niveau supérieur. À cet égard, l'enseignante ou l'enseignant joue un rôle primordial, entre autres, en fixant des attentes élevées pour tous ses élèves et en donnant à chacune et à chacun une attention particulière. C'est en planifiant des activités enrichissantes permettant d'établir des liens entre des idées provenant de l'étude de concepts mathématiques et des situations concrètes de la vie que l'enseignante ou l'enseignant fournira à ses élèves des occasions de consolider les connaissances et les habiletés rattachées à l'éducation inclusive qui consiste notamment à sensibiliser les élèves à divers problèmes sociaux. En proposant aux élèves des activités qui mettent en valeur le rôle et l'utilité des mathématiques dans la vie socioéconomique et culturelle, l'enseignante ou l'enseignant contribue à accroître l'intérêt et la motivation des élèves, tout en les préparant à devenir des citoyens responsables. LA LITTÉRATIE ET LA NUMÉRATIE Les compétences liées à la littératie et à la numératie sont essentielles à tous les apprentissages, dans toutes les disciplines. On définit la littératie comme la maîtrise des savoirs qui permettent à l'élève de s'exprimer, d'écrire, de lire, de chercher des informations, d'utiliser les technologies de l'information et des communications, et d'exercer une pensée critique à un niveau fonctionnel dans ses apprentissages actuels et futurs. Quant à la numératie, elle comprend l'ensemble des compétences essentielles basées sur des concepts mathématiques et des compétences connexes, qui permettent à l'élève d'utiliser la mesure et les propriétés des nombres et des objets géométriques, de résoudre des problèmes, de développer sa pensée critique, de lire et d'interpréter les informations faisant appel aux concepts mathématiques et de communiquer des données mathématiques. La littératie et la numératie permettront à l'élève d'apprendre, sa vie durant, dans toutes les disciplines et d'accéder aux niveaux supérieurs de pensée. Il incombe au personnel enseignant de toutes les disciplines de veiller à ce que l'élève progresse dans l'acquisition des compétences liées à la littératie et à la numératie. L'enseignante ou l'enseignant qui remarque que l'élève accuse un retard dans l'acquisition des compétences liées à la littératie et à la numératie devra prendre des dispositions particulières pour l'aider en s'inspirant des initiatives de littératie et de numératie élaborées par son conseil scolaire et son école. Le ministère de l'Éducation facilite l'élaboration de ressources pour appuyer le développement de compétences liées à la littératie et la numératie dans tout le curriculum. Des stratégies pratiques applicables à tous les cours sont fournies dans les documents suivants : • La littératie en tête de la 7e à la 12e année : Rapport du groupe d'experts sur les élèves à risque, 2003 • La numératie en tête de la 7e à la 12e année : Rapport du groupe d'experts sur les élèves à risque, 2004 • La littératie en tête : Stratégies pour toutes les matières de la 7e à la 12e année, 2005 • Moi, lire? Tu blagues! Guide pratique pour les garçons en matière de littératie, 2005 Ces ressources sont affichées sur le site Web du ministère de l'Éducation au www.edu.gov.on.ca. LE RÔLE DU CENTRE DE RESSOURCES DANS LE PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES Le centre de ressources de l'école joue un rôle primordial dans l'apprentissage et la réussite des élèves, tout particulièrement dans le contexte du programme-cadre de mathématiques. En donnant accès à Internet et à des banques de données et logiciels divers, et en proposant une abondance de ressources documentaires et médiatiques, le centre favorise chez les élèves l'acquisition de connaissances, d'habiletés et d'habitudes essentielles dans une société du savoir et dont ils se serviront toute leur vie. Le centre de ressources permet, entre autres, aux élèves : • de développer l'intérêt pour les mathématiques, autant pour le plaisir que pour apprendre; • de découvrir la richesse et la diversité de l'application des mathématiques en langue française, au Canada et ailleurs dans le monde; • d'accéder à des ressources dans toutes les disciplines du curriculum; • de faire des recherches et de se documenter sur divers sujets; • de découvrir la richesse du réseau des bibliothèques publiques municipales ou régionales et d'acquérir l'habitude de les fréquenter. LA PLACE DES TECHNOLOGIES EN MATHÉMATIQUES Les technologies de l'information et de la communication (TIC) offrent une gamme d'outils qui peuvent grandement élargir et enrichir les stratégies d'enseignement du personnel enseignant et appuyer l'apprentissage des élèves en mathématiques. Ces outils comprennent, entre autres, des logiciels, calculatrices à affichage graphique, jeux de simulation, bases de données, sondes pour une collecte de données, des outils numériques (p. ex. appareil photo numérique, scanneur) et des jeux éducatifs (p. ex. modules d'enseignement assisté par ordinateur). Le personnel enseignant peut utiliser les outils et les ressources des TIC dans son enseignement en salle de classe et concevoir des programmes qui répondent aux divers besoins des élèves. Par exemple, déterminer la représentation algébrique d'un graphique permet, par des essais répétés, de modifier l'équation de départ; enregistrer les discussions sur vidéo peut amener les élèves à mieux comprendre l'art de l'argumentation mathématique; et utiliser des émissions radiophoniques peut leur servir à mieux saisir les applications des mathématiques dans la vie courante. Les TIC peuvent aussi être utilisées pour permettre aux élèves de communiquer avec des élèves d'autres écoles et pour faire entrer la communauté mondiale dans la salle de classe. Grâce aux sites Web et à divers supports numériques, l'élève peut maintenant accéder à des ressources mathématiques trouvées dans les librairies, les archives et les institutions publiques à travers le pays et autour du monde. Il peut trouver les informations les plus récentes portant sur des sujets d'actualité. Les TIC permettent à l'élève du palier secondaire de mener des recherches plus étendues et plus authentiques que jamais auparavant. Il faut encourager l'élève à utiliser les TIC chaque fois que cela est approprié. En outre, il est important que l'élève puisse disposer (dans une version imprimée, électronique ou numérique) de toute une gamme d'outils pour lire ou interpréter des documents sous toutes leurs formes et en tirer tous les renseignements. L'élève pourra ainsi développer les habiletés nécessaires à l'utilisation des innovations technologiques et médiatiques, et des applications numériques informatisées, à des fins de collecte de données, de simulation, de production, de présentation ou de communication. LA MAJEURE HAUTE SPÉCIALISATION La majeure haute spécialisation est un type de programme spécialisé approuvé par le ministère de l'Éducation qui permet aux élèves de se concentrer sur les connaissances et les habiletés importantes de certains secteurs économiques et d'obtenir des certifications reconnues dans ces secteurs, tout en étudiant en vue du diplôme d'études secondaires de l'Ontario (DESO). La majeure a été conçue pour permettre aux élèves de personnaliser leur expérience au palier secondaire en fonction de leurs talents et de leurs champs d'intérêt et pour leur permettre de faire des apprentissages spécifiques et d'acquérir des compétences qui favoriseront leur réussite dans toutes les destinations postsecondaires : formation en apprentissage, collège, université et marché du travail. Chaque majeure cible un domaine particulier afin de préparer les élèves à des études postsecondaires ou à un emploi dans un secteur de l'économie. Chaque majeure haute spécialisation doit comprendre les cinq composantes énumérées ci-après et définies dans les cadres de référence approuvés par le Ministère pour chaque domaine de spécialisation : • Ensemble de 9, 10 ou 11 crédits requis (en grande partie provenant de cours de 11e et 12e année) qui trace un itinéraire d'études vers l'une des quatre destinations possibles, soit : - quatre crédits de spécialisation, - trois ou quatre crédits d'appui à la majeure dans des disciplines pertinentes (p. ex. français, sciences, mathématiques, affaires et commerce), - deux crédits d'éducation coopérative, - deux demi-crédits obligatoires Éducation à la citoyenneté et Exploration de carrière (ou si on effectue une substitution Découvrir le milieu de travail); • Certifications obligatoires précisées dans chaque cadre de référence; • Possibilités d'apprentissage par l'expérience; • Utilisation du Passeport-compétences de l'Ontario (PCO); • Possibilités d'expérience d'anticipation qui permettent aux élèves de réaliser des apprentissages dans la destination postsecondaire envisagée. Les cours de mathématiques s'inscrivent dans l'ensemble des crédits requis dans les programmes menant à la majeure haute spécialisation ou dans les programmes conçus pour offrir aux élèves des itinéraires d'études spécialisés. Ils permettent à l'élève d'acquérir des connaissances et des compétences qui sont importantes dans des secteurs économiques et qui sont nécessaires pour réussir sur le marché du travail ou pour poursuivre des études postsecondaires, y compris les programmes d'apprentissage. Les cours de mathématiques peuvent être combinés aux crédits d'éducation coopérative pour fournir à l'élève l'expérience en milieu de travail exigée par des programmes de majeure et par différents itinéraires d'études spécialisés. Les programmes de majeure haute spécialisation pourraient fournir des possibilités d'apprentissage dans des secteurs spécifiques, qu'elles soient offertes par des employeurs, des centres de formation professionnelle, des collèges ou des organismes communautaires. LA PLANIFICATION DE CARRIÈRE Les attentes et les contenus d'apprentissage du programme de mathématiques offrent à l'élève la possibilité d'appliquer ses habiletés langagières dans de nombreuses situations liées au monde du travail, d'explorer des possibilités d'études postsecondaires, de formation, de métiers et de profession, et de devenir autodidacte. Les cours de mathématiques permettent aussi à l'élève de développer ses habiletés en recherche, de développer des techniques de présentation et de maîtriser des stratégies de lecture. Peu importe leur destination postsecondaire, tous les élèves ont besoin de réaliser que les habiletés acquises en matière de littératie et numératie constituent aussi des habiletés essentielles d'employabilité. Les élèves qui ont développé des habiletés en littératie et en numératie savent mieux exploiter les technologies de l'information et de la communication pour communiquer efficacement dans diverses situations et pour accomplir des tâches spécifiques. LE PASSEPORT-COMPÉTENCES DE L'ONTARIO ET LES COMPÉTENCES ESSENTIELLES Le personnel enseignant qui planifie les cours de mathématiques doit encourager la connaissance, la compréhension et le développement des compétences essentielles et des habitudes de travail nécessaires pour réussir au travail. Le Passeport-compétences de l'Ontario (PCO) est une ressource Web bilingue qui aide les enseignantes et enseignants de mathématiques à tenir compte du milieu de travail en salle de classe. Le PCO offre une description claire des compétences essentielles telles que la lecture des textes, la rédaction, l'utilisation des documents, l'informatique, le calcul et la capacité de raisonnement. On se sert de compétences essentielles dans notre vie de tous les jours et elles sont transférables de l'école au travail, d'un emploi à l'autre et d'un secteur à l'autre. Le PCO inclut une base de données portant sur des tâches en milieu de travail et des descriptions d'importantes habitudes de travail telles que la fiabilité, la sécurité au travail et le service à la clientèle. Il offre aussi aux employeuses et employeurs une méthode cohérente pour évaluer et consigner la démonstration de ces compétences et de ces habitudes de travail par les élèves dans le cadre de leur stage d'éducation coopérative. Les élèves peuvent se servir du PCO pour préciser les compétences et les habitudes de travail déjà acquises, planifier le développement de nouvelles compétences ou montrer aux employeuses et employeurs ce qu'ils peuvent faire. Les compétences décrites dans le PCO sont les compétences essentielles que le gouvernement du Canada et des agences nationales et internationales ont déterminées à la suite de recherches considérables comme étant les compétences requises pour travailler, apprendre et vivre. Les compétences essentielles constituent la base de l'apprentissage de toute autre habileté et permettent aux personnes de progresser dans leur emploi et de s'adapter au changement en milieu de travail. Pour des précisions sur le PCO et les compétences essentielles, consulter le site http://skills.edu.gov.on.ca. L'ÉDUCATION COOPÉRATIVE ET LES AUTRES FORMES D'APPRENTISSAGE PAR L'EXPÉRIENCE L'éducation coopérative et les autres formes d'apprentissage par l'expérience permettent à l'élève d'appliquer les habiletés acquises en salle de classe dans les contextes réels au sein de la communauté du monde des affaires et des services publics. L'éducation coopérative et les autres expériences en milieu de travail aident l'élève à approfondir sa connaissance des possibilités d'emploi dans de nombreux domaines, y compris le milieu de l'ingénierie, des statistiques et des technologies. De plus, l'élève élargit sa compréhension des pratiques du monde du travail, des certifications et de la nature des relations employeurs-employés. En outre, en se basant sur ses expériences, il reconnaît l'apport de la connaissance des deux langues officielles du Canada. Il s'avère important que les enseignantes et enseignants des cours de mathématiques entretiennent des liens avec les entreprises locales, notamment celles de la communauté francophone afin d'assurer à l'élève des expériences pratiques qui viendront renforcer les connaissances et les habiletés acquises à l'école. La préparation aux expériences pratiques en milieu de travail doit comprendre un enseignement sur les mesures liées à la santé et la sécurité en milieu de travail. Le personnel enseignant appuyant l'élève en situation d'apprentissage en milieu de travail doit évaluer les conditions relatives à la santé et la sécurité dans le milieu de travail. Avant de participer à une expérience en milieu de travail, l'élève doit acquérir les connaissances et les compétences nécessaires pour assurer sa sécurité physique et son bien-être personnel. L'élève doit comprendre les questions relatives à la confidentialité et au respect de la vie privée, comme il est énoncé dans la Loi sur l'accès à l'information et la protection de la vie privée (1990). Il a le droit de travailler dans un milieu exempt de mauvais traitements et de harcèlement, et doit être sensible aux enjeux portant sur sa sécurité personnelle. L'élève doit être renseigné quant aux ressources scolaires et communautaires, aux politiques de l'école et à la marche à suivre pour signaler toutes formes d'abus et de harcèlement. La note Politique/Programme nº 76A intitulée Assurance contre les accidents du travail pour les élèves des programmes de formation pratique (Septembre 2000) trace les grandes lignes des procédures à suivre pour assurer le respect des dispositions de la Loi sur la sécurité professionnelle et les assurances contre les accidents du travail (1997) aux élèves âgés d'au moins 14 ans inscrits à un stage de plus d'une journée en milieu de travail. L'observation au poste de travail et le jumelage sont considérés comme une sortie éducative. Le personnel enseignant doit connaître l'âge minimum requis selon la Loi sur la santé et la sécurité au travail (1990) pour trouver un milieu de travail où l'élève peut travailler. Tous les stages d'éducation coopérative et les autres expériences en milieu de travail sont dispensés selon les prescriptions énoncées dans Éducation coopérative et autres formes d'apprentissage par l'expérience : Lignes directrices pour les écoles secondaires de l'Ontario, 2000. LA SANTÉ ET LA SÉCURITÉ Malgré le fait que les questions relatives à la santé et à la sécurité ne sont pas généralement liées à l'enseignement des mathématiques, elles peuvent s'avérer importantes lorsque l'apprentissage fait appel à des activités pratiques, en particulier celles qui se déroulent à l'extérieur de l'école. Ces activités offrent une dimension authentique et motivante en ce qui a trait aux expériences d'apprentissage de l'élève. Les enseignantes et enseignants planifieront avec soin ces activités afin de prévoir les problèmes et de prévenir les risques pour la santé et la sécurité de l'élève. COURS Fonctions, 11e année Cours préuniversitaire MCR3U Ce cours poursuit l'étude des fonctions en introduisant les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques dont l'élève se sert pour résoudre des problèmes reliés aux triangles rectangles ou obliques. L'élève consolide ses habiletés numériques et algébriques, explore les polynômes et les expressions rationnelles et étudie des transformations et des réciproques de fonctions. L'élève aborde les suites et les séries dans le contexte de la résolution de problèmes sur les applications financières lors de l'étude de fonctions discrètes. Tout au long du cours, l'élève apprend à argumenter et à communiquer de façon claire et précise les étapes de son raisonnement mathématique. Préalable : Principes de mathématiques, 10e année, cours théorique MODÉLISATION À L'AIDE DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES ATTENTES À la fin du cours, l'élève doit pouvoir : • manipuler des polynômes et des expressions rationnelles. • démontrer une compréhension des caractéristiques des transformations des représentations graphiques et des réciproques de fonctions algébriques simples. • démontrer une compréhension de la nature des racines d'une équation du second degré. CONTENUS D'APPRENTISSAGE Pour satisfaire aux attentes, l'élève doit pouvoir : Manipulations de polynômes et d'expressions rationnelles • simplifier des expressions de polynômes à l'aide d'additions, de soustractions et de multiplications. Problème modèle : Déterminer le volume d'un cube dont les arêtes mesurent (2x + 1). • simplifier des expressions contenant des radicaux à l'aide de factorisations, d'additions, de soustractions et de multiplications [p. ex. [symbole de la racine carrée]24, (2 + [symbole de la racine carrée]6)(3 – [symbole de la racine carrée]12)]. • simplifier des expressions rationnelles à l'aide d'additions, de soustractions, de multiplications et de divisions, et indiquer les restrictions imposées aux variables. Problème modèle : Simplifier 2x/4x(2) + 6x – 3/2x + 3 et indiquer les restrictions qui s'imposent à la variable. Transformations et réciproques de fonctions • distinguer une fonction d'une relation (p. ex. correspondance de un à un, de plusieurs à un, test de la droite verticale) à l'aide de différentes représentations de relations (p. ex. utiliser des correspondances, des graphiques, des tables de valeurs et des équations) et démontrer une compréhension de ce que représente une fonction. Problème modèle : Expliquer pourquoi la relation représentée par un cercle n'est pas une fonction. • utiliser la notation fonctionnelle pour représenter des fonctions affines et des fonctions du second degré définies de différentes façons, c.-à-d. algébrique, graphique et numérique (p. ex. table de valeurs), et calculer des valeurs particulières de f(x). • déterminer par exploration, à l'aide d'outils technologiques, le domaine et l'image des fonctions définies par f(x) = x, f(x) = x(2), f(x) = [symbole de la racine carrée]x et f(x) = 1/x, représentées de façon numérique (p. ex. table de valeurs), graphique et algébrique, et identifier les restrictions additionnelles imposées par le contexte (p. ex. le domaine d'une fonction du second degré représentant la relation entre la hauteur à laquelle se trouve une balle et le temps écoulé se limite au temps durant lequel la balle est dans les airs). • établir, à l'aide d'une variété de représentations numériques (p. ex. correspondances, tables de valeurs), le lien entre une fonction et sa réciproque comme un processus inverse (p. ex. le fait d'échanger le domaine et l'image de la fonction et de la réciproque). • déterminer la représentation numérique ou graphique de la réciproque d'une fonction affine et d'une fonction du second degré données de façon algébrique ou numérique, et faire le lien entre les représentations graphiques de la fonction et de sa réciproque, c.-à-d. la symétrie de leurs graphiques par rapport à la droite définie par l'équation y = x. • déterminer par exploration la relation entre le domaine et l'image d'une fonction, et le domaine et l'image de la relation réciproque, et déterminer si la relation réciproque est une fonction. Problème modèle : Déterminer la relation réciproque de la fonction f(x) = x(2) ainsi que son domaine et son image, et établir des liens avec les fonctions g(x) = [symbole de la racine carrée]x et h(x) = – [symbole de la racine carrée]x. • déterminer, à l'aide de la représentation graphique d'une fonction affine, la représentation algébrique de la fonction et de sa réciproque, établir le lien entre ces deux représentations algébriques (p. ex. avec la réciproque, les opérations inverses sont appliquées en ordre inverse) et vérifier ce lien pour la fonction du second degré écrite sous forme canonique f(x) = a(x – h)2 + k et sa réciproque. Problème modèle : Déterminer, en appliquant les opérations inverses, l'équation de la réciproque de la fonction f(x) = (x – 2)2 + 3 et vérifier le résultat à l'aide d'une calculatrice à affichage graphique. • déterminer la réciproque de fonctions affines et de fonctions du second degré, et représenter les fonctions réciproques à l'aide de la notation fonctionnelle, soit f(–1)(x), lorsque c'est approprié. Problème modèle : Exprimer la fonction f(x) = 4x(2) – 8x – 12 sous la forme canonique et déterminer f(–1)(x). • déterminer, à l'aide d'outils technologiques, le rôle des paramètres a, c, d et k dans la représentation graphique de la fonction y = af(k(x – c )) + d où f(x) = x, f(x) = x(2), f(x) = [symbole de la racine carrée]x et f(x) = 1/x, et décrire ce rôle à l'aide de transformations appliquées à la fonction y = f(x), c.-à-d. translation horizontale, translation verticale, symétrie par rapport à l'axe des x, par rapport à l'axe des y, agrandissement, rétrécissement vertical. Problème modèle : Étudier, à l'aide d'outils technologiques, le graphique de la fonction y = 2[symbole de la racine carrée]x–c + 1 pour différentes valeurs de c et décrire l'effet du paramètre c en termes de transformation. (Note : L'étude du rôle du paramètre k se limite aux valeurs k = 1 ou k = –1). • décrire, oralement et par écrit (p. ex. en utilisant la notation fonctionnelle), les transformations que l'on doit appliquer au graphique d'une fonction de base donnée (p. ex. f(x) = x, f(x) = x(2), f(x) = [symbole de la racine carrée]x et f(x) =1/x) pour obtenir le graphique de la fonction définie par y = af(k(x – c )) + d et esquisser la transformée. Problème modèle : Déterminer les transformations à appliquer à la fonction y = [symbole de la racine carrée]x pour obtenir la transformée y = 2[symbole de la racine carrée]–x – 1 et esquisser le graphique de la transformée. • déterminer, à l'aide de transformations sur les fonctions de base, le domaine et l'image d'une transformée à partir de son équation. Problème modèle : Déterminer le domaine et l'image de la fonction définie par f(x) = 3[symbole de la racine carrée](x-1). Nature des racines d'une équation du second degré • déterminer la valeur maximale ou minimale d'une fonction du second degré exprimée sous la forme y = ax(2) + bx + c au moyen de méthodes algébriques (p. ex. en complétant le carré, en utilisant la factorisation partielle, en déterminant la moyenne des zéros de la fonction). • résoudre, à l'aide de la formule quadratique, des équations du second degré en situation. Problème modèle : La distance d'arrêt, d en mètres, d'un véhicule en fonction de sa vitesse, v en kilomètres par heure, est définie par l'équation d = 0,0056v2 + 0,14v. Déterminer quelle doit être la vitesse d'un véhicule pour qu'il s'arrête au bout de 15 m. • établir le lien entre les racines réelles d'une équation du second degré et les abscisses à l'origine de la représentation graphique de la fonction correspondante. • déterminer le nombre de racines d'une fonction du second degré en utilisant diverses méthodes (p. ex. à l'aide du graphique, des facteurs ou du discriminant). Problème modèle : Déterminer les transformations qui ont un effet sur le nombre d'abscisses à l'origine du graphique d'une fonction du second degré. • déterminer une équation du second degré ayant des racines réelles données. Problème modèle : Déterminer la fonction du second degré dont les racines de l'équation sont (1 + [symbole de la racine carrée]5) et (1 – [symbole de la racine carrée]5) et dont la courbe représentative passe par le point (2,8). • résoudre un système composé d'une équation du premier degré et d'une équation du second degré. Problème modèle : Déterminer les équations de droites de pente 2 ayant un point en commun avec le graphique de la fonction du second degré f(x) = x(x – 6). Reprendre pour deux points en commun, aucun point en commun. FONCTIONS EXPONENTIELLES ATTENTES À la fin du cours, l'élève doit pouvoir : • démontrer une compréhension des caractéristiques de la fonction exponentielle et de sa réciproque. • démontrer une habileté à utiliser les fonctions exponentielles. CONTENUS D'APPRENTISSAGE Pour satisfaire aux attentes, l'élève doit pouvoir : Caractéristiques d'une fonction exponentielle • tracer, avec et sans outils technologiques, le graphique d'une relation exponentielle définie par y = a(x), a [symbole plus grand que] 0 et a [symbole n'est pas égale à] 1. Définir cette relation comme étant une fonction et indiquer les raisons. • simplifier et évaluer des expressions formées de nombres entiers affectés d'exposants rationnels à l'aide des lois des exposants [p. ex. 8(2/3), 27(–2/3), (– 8)–4/3]. • simplifier, à l'aide des lois des exposants, des expressions algébriques comportant des exposants entiers [p. ex. x(3) x(4)/x(2), 4x(3) ÷ (2x)2]. • explorer, à l'aide d'outils technologiques, les caractéristiques principales des fonctions exponentielles définies par f(x) = a(x), a [symbole plus grand que] 0, a [symbole n'est pas égale à] 1 et leurs graphiques (p. ex. le domaine est l'ensemble des nombres réels, l'image est l'ensemble des nombres réels positifs, la fonction croît ou décroît pour toutes valeurs de x, l'axe des x est l'asymptote du graphique, l'ordonnée à l'origine est 1, les différences entre les valeurs de la table de valeurs forment une suite géométrique). Problème modèle : Sur un même système d'axes, tracer le graphique des relations représentées par les équations suivantes : f(x) = 2(x), g(x) = 3(x) et h(x) = 0,5(x). Comparer les graphiques et expliquer la relation entre les ordonnées à l'origine de chacun d'eux. • comparer le taux de variation des fonctions exponentielles aux taux de variation des fonctions non exponentielles [p. ex. f(x) = 2x, f(x) = x(2), f(x) = 2(x)]. • déterminer, à l'aide d'outils technologiques, le rôle des paramètres a, c, d et k dans la représentation graphique de la fonction y = af(k(x – c)) + d où f(x) = b(x), et décrire ce rôle à l'aide de transformations appliquées à la fonction exponentielle, c.-à-d. translations, symétries par rapport à l'axe des x, par rapport à l'axe des y, agrandissement, rétrécissement vertical. Problème modèle : Étudier, à l'aide d'outils technologiques, le graphique de la fonction f(x) = 3(x–c) + 5 pour différentes valeurs de c, et décrire l'effet du paramètre c en termes de transformation. • esquisser, à l'aide de transformations, la représentation graphique de fonctions exponentielles simples (p. ex. f(x) = ab(x) + c, f(x) = b(x+d) + c) et déterminer le domaine et l'image. Problème modèle : Esquisser le graphique de f(x) = 3(x+1) – 2 et indiquer son domaine et son image à l'aide d'une inéquation. • expliquer, en contexte, la réciproque de la fonction exponentielle f(x) = a(x), a [symbole plus grand que] 0 et a [symbole n'est pas égale à] 1 et la définir comme étant la fonction logarithmique f(x) = log(a)x. • comparer les caractéristiques (p. ex. domaine, image, asymptote, ordonnée à l'origine) des fonctions logarithmiques à celles des fonctions exponentielles. Applications des fonctions exponentielles • interpréter, oralement et par écrit, des situations tirées de différents domaines ayant trait à la croissance et la décroissance exponentielles en utilisant différentes représentations, c.-à-d. ensemble de données, graphique, équation. Problème modèle : Martine investit 500 $ à un taux d'intérêt de 4,5 % capitalisé semestriellement pendant 5 ans. Générer, à l'aide d'outils technologiques, une table de valeurs lui permettant de calculer son investissement à la fin de cette période. • formuler et résoudre des problèmes tirés de diverses applications pouvant être modélisées pour une fonction exponentielle. Problème modèle : La demi-vie du radon est de 4 jours. Si on a 18 g de radon, quelle quantité de radon restera-t-il au bout de 8 jours? au bout de 16 jours? au bout de x jours? FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES ATTENTES À la fin du cours, l'élève doit pouvoir : • démontrer une habileté à utiliser les rapports trigonométriques dans diverses situations. • démontrer une compréhension des fonctions sinusoïdales et de leurs représentations graphiques. CONTENUS D'APPRENTISSAGE Pour satisfaire aux attentes, l'élève doit pouvoir : Applications des rapports trigonométriques • déterminer les valeurs exactes des sinus, cosinus et tangentes des angles remarquables de 0º, 30º, 45º, 60º et 90º et de leurs multiples [symbole plus petit que ou égal à] 360º. déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle supérieur à 90º à l'aide de techniques appropriées (p. ex. cercle unitaire, outils technologiques). • déterminer deux angles qui correspondent à une valeur donnée d'un rapport trigonométrique (p. ex. déterminer deux valeurs possibles de "la lettre thêta" si sin "la lettre thêta" = 1/2 où 0º [symbole plus petit que ou égal à] "la lettre thêta" [symbole plus petit que ou égal à] 360º). • résoudre des équations trigonométriques ayant la forme d'équations du premier degré (p. ex. 2 sin "la lettre thêta" – 1 = 0 ou 5 cos "la lettre thêta" + 2 = 0 où 0º [symbole plus petit que ou égal à] "la lettre thêta" [symbole plus petit que ou égal à] 360º). • démontrer des identités trigonométriques simples en utilisant l'identité de Pythagore sin(2)x + cos(2)x = 1, l'identité quotient tan x = sin x/cos x et les identités des rapports trigonométriques inverses : cosec x = 1/sin x, sec x = 1/cos x et cotan x = 1/tan x. • résoudre des problèmes en deux et en trois dimensions portant sur des triangles rectangles ou obliques à l'aide des rapports sinus, cosinus et tangente, de la loi des sinus et de la loi du cosinus, y compris le cas ambigu. Problème modèle : D'une hauteur de 300 m au-dessus du sol, on observe deux objets au sol. L'angle de dépression que chaque objet forme avec le poste d'observation est de 38º et de 45º. Si l'angle entre les rayons de vision est de 60º, trouver la distance entre les deux objets. Liens entre la représentation graphique et les équations des fonctions sinusoïdales • identifier, à partir de différentes représentations (p. ex. table de valeurs, représentation graphique, équation), les propriétés d'un phénomène périodique tiré d'une variété d'applications pouvant être modélisées par des fonctions sinusoïdales (p. ex. capter le mouvement d'un pendule par CBR). • tracer, à l'aide d'outils technologiques, les esquisses des courbes représentatives de f(x) = sin x et de f(x) = cos x, où 0º [symbole plus petit que ou égal à] x [symbole plus petit que ou égal à] 720º et décrire leurs propriétés périodiques en faisant référence aux points remarquables, c.-à-d. points d'inflexion, maximums et minimums, abscisses à l'origine. • déterminer, à l'aide d'outils technologiques, le rôle des paramètres a, c, d et k dans la représentation graphique de la fonction y = af(k(x – c )) + d où f(x) = sin x et f(x) = cos x. Décrire ce rôle à l'aide de transformations appliquées à la fonction y = f(x), c.-à-d. translation horizontale, translation verticale, symétrie par rapport à l'axe des x, par rapport à l'axe des y, agrandissement, rétrécissement horizontal ou vertical. Problème modèle : Étudier, à l'aide d'outils technologiques, le graphique de la fonction y = 2 sin (x – c) + 10 pour différentes valeurs de c et décrire l'effet du paramètre c en termes de transformation. • déterminer le domaine, l'image, l'amplitude, le déphasage et la période des fonctions sinusoïdales définies par f(x) = a sin(k(x + d)) + c et par f(x) = a cos(k(x + d)) + c. • tracer les esquisses des courbes de fonctions sinusoïdales pour une période complète (p. ex. celles définies par les fonctions sinusoïdales de la forme f(x) = a sin x, f(x) = cos(kx), f(x) = sin(x + d), f(x) = a sin(k(x + d)) + c et par f(x) = a cos(k(x + d)) + c) en identifiant les points remarquables, c.-à-d. points d'inflexion, maximums et minimums, abscisses à l'origine. Indiquer le domaine et l'image de chaque transformée. • déterminer l'équation d'une fonction sinusoïdale à partir des caractéristiques données (p. ex. déterminer l'équation d'une fonction sinusoïdale ayant une période de 720º, une amplitude de 5 et un déphasage de 60º par rapport à la fonction de base y = sin x). • prédire avec justesse les effets sur un modèle mathématique d'une application d'une fonction sinusoïdale quand on fait varier les conditions de cette application. Problème modèle : La hauteur par rapport au sol d'un passager à bord de « La Grande roue de Ferris » peut être représentée en fonction du temps par une fonction sinusoïdale. Décrire l'effet sur la fonction si le quai d'embarquement est soulevé d'un mètre et la vitesse de la grande roue doublée. • formuler et résoudre des problèmes tirés de diverses applications pouvant être modélisées par une fonction sinusoïdale. Problème modèle : La hauteur par rapport au sol d'un passager à bord de « La Grande roue de Ferris » peut être modélisée par la fonction sinusoïdale h(t) = 25 sin 3(t – 30) + 27 où h(t) représente la hauteur en mètres et t, le temps en secondes. Représenter graphiquement cette fonction et déterminer la hauteur maximale et minimale du passager par rapport au sol et sa hauteur lorsque t = 30 s. FONCTIONS DISCRÈTES ATTENTES À la fin du cours, l'élève doit pouvoir : • démontrer une compréhension des suites récursives incluant le lien au triangle arithmétique de Pascal. • démontrer une compréhension des suites et des séries arithmétiques et géométriques comme fonctions discrètes. • résoudre des problèmes à caractère financier. CONTENUS D'APPRENTISSAGE Pour satisfaire aux attentes, l'élève doit pouvoir : Récurrence • décrire et représenter des techniques récursives (p. ex. à l'aide d'une formule, de mots ou de nombres) à partir des premiers termes d'une suite (p. ex. arithmétique, géométrique). • comparer la représentation récursive d'une suite à la représentation fonctionnelle de la même suite. Problème modèle : Représenter la suite 2, 4, 6, 8… à l'aide d'une formule récursive et d'une notation fonctionnelle, et décrire les différences entre les deux représentations. • explorer les différentes régularités du triangle arithmétique de Pascal (p. ex. régularité symétrique du triangle, régularité récursive des éléments du triangle, c.-à-d. chaque nombre de la table est la somme des deux nombres situés immédiatement au-dessus, la relation entre le nombre d'éléments dans une rangée et sa position dans le triangle) et d'une suite du genre suite de Fibonacci. • établir le lien, par exploration, entre le triangle arithmétique de Pascal et le coefficient de n'importe quel terme du développement d'un binôme [p. ex. (1 + x)2, (x – 1)3 , (x – y)5, (x2 + 1)10]. Suites et séries arithmétiques et géométriques • décrire une suite à l'aide d'une fonction discrète (p. ex. la représentation d'une suite arithmétique peut se faire à l'aide d'une fonction dont le domaine est l'ensemble des nombres naturels et le graphique est composé de points discrets). • écrire les termes d'une suite à partir du terme général ou d'une formule récursive. Problème modèle : Déterminer la valeur du 10(e) terme de la suite dont le terme général est défini par la formule t(n) = 3n + 5, n "lettre epsilon" N, par la formule récursive t(1) = 1, t(2) = 2, t(n+2) = 2t(n) + t(n+1), n "lettre epsilon" N. • déterminer la formule du terme général d'une suite donnée (p. ex. déterminer le terme général de la suite 1/2, 2/3, 3/4 … et déterminer la formule du terme général tn définissant la suite arithmétique 5, 10, 15…, déterminer la formule du terme général t(n) définissant la suite géométrique 5, 10, 20…). • déterminer si une suite est arithmétique, géométrique ou autre. Problème modèle : Démontrer que la suite définie par la formule récursive t(1) = 1, t(n) = 2t(n-1) + 3, n "lettre epsilon" N n'est ni arithmétique ni géométrique. • déterminer la somme des termes d'une série arithmétique ou géométrique en utilisant des formules ou des techniques appropriées (p. ex. utilisation d'un